Nhị thức Newton — Công thức, khai triển và ví dụ

Nhị thức Newton cho ta một cách nhanh để khai triển các biểu thức như $(a+b)^n$. Trong dạng chuẩn thường dùng ở lớp đại số, nó áp dụng khi $n$ là một số nguyên không âm.

Thay vì tự nhân $(a+b)(a+b)(a+b)$ bằng tay, bạn có thể dùng một mẫu chung cho toàn bộ phép khai triển:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Công thức này cho biết hệ số của mỗi hạng tử và cách số mũ của $a$ và $b$ thay đổi trong suốt quá trình khai triển.

Công Thức Và Mẫu Của Nhị Thức Newton

Mỗi hạng tử trong khai triển có dạng

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

với $k$ chạy từ $0$ đến $n$.

Điều đó có nghĩa là hệ số là $\binom{n}{k}$, số mũ của $a$ giảm từ $n$ xuống $0$, còn số mũ của $b$ tăng từ $0$ lên $n$. Trong mỗi hạng tử, tổng các số mũ vẫn bằng $n$.

Ví dụ, khi $n=4$, các hệ số là

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Đây chính là các số ở hàng thứ $4$ của tam giác Pascal.

Vì Sao Các Hệ Số Lại Đúng

Khi bạn khai triển $(a+b)^n$, thực chất bạn đang chọn một hạng tử từ mỗi một trong $n$ ngoặc giống hệt nhau:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Để tạo ra một hạng tử có $b^k$, bạn phải chọn $b$ từ đúng $k$ ngoặc và chọn $a$ từ các ngoặc còn lại. Số cách làm điều đó là $\binom{n}{k}$, nên số lượng đó trở thành hệ số.

Đây cũng là lý do các hệ số ở giữa thường lớn nhất: có nhiều cách phân chia lựa chọn ở gần giữa hơn là ở hai đầu.

Ví Dụ Khai Triển Nhị Thức: $(2x-3)^4$

Vì số mũ là $4$, định lý áp dụng trực tiếp. Các hệ số là

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Dùng mẫu tổng quát,

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Bây giờ rút gọn từng hạng tử:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Vậy khai triển là

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Hãy chú ý hai cách kiểm tra nhanh giúp phát hiện lỗi sớm: tổng số mũ trong mỗi hạng tử bằng $4$, và các dấu luân phiên đúng vì hạng tử thứ hai là $-3$.

Những Lỗi Thường Gặp Với Nhị Thức Newton

Lỗi phổ biến nhất là coi $(a+b)^n$ thành $a^n + b^n$. Điều đó nói chung là sai vì các hạng tử ở giữa rất quan trọng.

Một lỗi khác là dùng đúng hệ số nhưng gán sai số mũ. Trong mỗi hạng tử, tổng số mũ của hai phần phải bằng số mũ ban đầu $n$.

Dấu âm cũng dễ gây nhầm lẫn. Trong $(2x-3)^4$, hạng tử thứ hai là $-3$, không chỉ là $3$, nên các lũy thừa lẻ của thừa số đó vẫn âm còn các lũy thừa chẵn thì thành dương.

Khi Nào Nên Dùng Nhị Thức Newton

Hãy dùng nhị thức Newton khi bạn cần khai triển đầy đủ thành đa thức, tìm một hạng tử cụ thể trong khai triển, hoặc muốn đọc nhanh các hệ số mà không phải nhân lặp lại.

Nó xuất hiện đầu tiên trong đại số, rồi sau đó trong xác suất, chuỗi và một số phép xấp xỉ của giải tích. Nếu số mũ không phải là số nguyên không âm, công thức hữu hạn này sẽ không còn cho ra một đa thức, nên bạn cần một phiên bản khác của ý tưởng này.

Thử Một Bài Khai Triển Tương Tự

Hãy khai triển $(x+2)^5$ và kiểm tra hai điều trước khi rút gọn: các hệ số phải là $1, 5, 10, 10, 5, 1$, và tổng số mũ của hai phần phải bằng $5$ trong mọi hạng tử.

Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong trình giải và so sánh các hạng tử ở giữa trước. Đó là nơi lỗi về hệ số và dấu thường xuất hiện nhanh nhất.