二项式定理——公式、展开与例题

二项式定理可以快速展开像 $(a+b)^n$ 这样的式子。在代数课中常用的标准形式里，它适用于 $n$ 是非负整数的情况。

与其手动去乘 $(a+b)(a+b)(a+b)$，不如直接使用整个展开的统一规律：

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

这个公式告诉你每一项的系数是什么，以及 $a$ 和 $b$ 的幂次在展开过程中如何变化。

二项式定理的公式与规律

展开式中的每一项都具有下面的形式：

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

其中 $k$ 从 $0$ 取到 $n$。

这意味着系数是 $\binom{n}{k}$，$a$ 的幂次从 $n$ 逐步降到 $0$，而 $b$ 的幂次从 $0$ 逐步升到 $n$。在每一项中，两个指数的和始终都是 $n$。

例如，当 $n=4$ 时，系数是

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

这正是帕斯卡三角形第 $4$ 行的数字。

为什么这些系数成立

如果你展开 $(a+b)^n$，本质上是在 $n$ 个相同括号中各选一项：

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

如果要得到含有 $b^k$ 的一项，就必须恰好从其中 $k$ 个括号里选出 $b$，其余括号里选出 $a$。这样选法的总数就是 $\binom{n}{k}$，所以这个数量就成为该项的系数。

这也解释了为什么中间的系数通常最大：与两端相比，靠近中间的位置有更多的选法。

二项式展开例题：$(2x-3)^4$

因为指数是 $4$，所以可以直接使用二项式定理。对应的系数是

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

按照一般规律，

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

现在逐项化简：

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

所以展开结果是

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

注意两个能快速检查错误的方法：每一项中的指数总和都应为 $4$，并且由于第二项是 $-3$，符号也应正确地交替变化。

二项式定理中的常见错误

最常见的错误是把 $(a+b)^n$ 当成 $a^n + b^n$。一般来说这是错误的，因为中间项不能忽略。

另一个常见错误是系数对了，但幂次写错了。在每一项中，两部分的指数之和都应该等于原来的指数 $n$。

负号也很容易出错。在 $(2x-3)^4$ 中，第二项是 $-3$，不是单纯的 $3$，所以它的奇次幂仍然是负的，偶次幂则变成正的。

什么时候使用二项式定理

当你需要完整的多项式展开、求展开式中的某一项，或者想在不反复相乘的情况下快速读出系数时，就可以使用二项式定理。

它最先出现在代数中，之后还会出现在概率、级数以及一些微积分近似中。如果指数不是非负整数，这个有限公式就不再给出一个多项式，此时需要使用这个思想的其他形式。

试着做一个类似的展开

展开 $(x+2)^5$，并且在化简前先检查两点：系数应为 $1, 5, 10, 10, 5, 1$，而且每一项中两部分的指数之和都应为 $5$。

如果你想再进一步，可以在求解器里试试你自己的版本，并先比较中间几项。系数和符号错误通常最容易先出现在那里。