표준 이항정리 공식을 언제 사용할 수 있나요?

지수 $n$이 0 이상의 정수일 때 표준적인 유한 공식를 사용합니다. 그 외의 지수에서는 전개가 보통 유한한 다항식이 아닙니다.

전개식의 계수는 어디에서 나오나요?

계수는 이항계수 $\binom{n}{k}$에서 나오며, 이는 파스칼의 삼각형의 $n$번째 행과 일치합니다.

이항정리는 $(a+b)^n$ 같은 식을 빠르게 전개하는 방법을 제공합니다. 대수에서 배우는 표준 형태는 $n$ 이 0 이상의 정수일 때 적용됩니다.

$(a+b)(a+b)(a+b)$ 를 손으로 하나씩 곱하는 대신, 전체 전개에 대해 하나의 패턴을 사용할 수 있습니다:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

이 공식은 각 항의 계수가 무엇인지, 그리고 전개가 진행되면서 $a$ 와 $b$ 의 지수가 어떻게 바뀌는지를 알려 줍니다.

전개식의 각 항은 다음 꼴입니다.

\binom{n}{k} a^{n-k} b^k

여기서 $k$ 는 $0$ 부터 $n$ 까지 변합니다.

즉, 계수는 $\binom{n}{k}$ 이고, $a$ 의 지수는 $n$ 에서 $0$ 까지 내려가며, $b$ 의 지수는 $0$ 에서 $n$ 까지 올라갑니다. 모든 항에서 두 지수의 합은 여전히 $n$ 입니다.

예를 들어 $n=4$ 일 때 계수는 다음과 같습니다.

1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1

이 수들은 파스칼의 삼각형 4번째 행의 수들과 같습니다.

$(a+b)^n$ 을 전개한다는 것은 사실상 같은 괄호 $n$ 개 각각에서 한 항씩 고르는 것과 같습니다.

(a+b)(a+b)\cdots(a+b)

$b^k$ 가 들어 있는 항을 만들려면 정확히 $k$ 개의 괄호에서 $b$ 를 고르고, 나머지에서는 $a$ 를 골라야 합니다. 그렇게 고르는 방법의 수가 $\binom{n}{k}$ 이므로, 그 개수가 곧 계수가 됩니다.

이것이 가운데 계수들이 보통 가장 큰 이유이기도 합니다. 양 끝보다 가운데 근처에서 선택을 나누는 방법이 더 많기 때문입니다.

지수가 $4$ 이므로 정리를 바로 적용할 수 있습니다. 계수는 다음과 같습니다.

1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1

일반 패턴을 사용하면,

(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4

이제 항별로 정리해 봅시다.

(2x)^4 = 16x^4

4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3

6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2

4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x

(-3)^4 = 81

따라서 전개식은

(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81

입니다.

실수를 빠르게 잡는 데 도움이 되는 두 가지 확인법이 있습니다. 각 항의 지수 합이 $4$ 가 되는지, 그리고 두 번째 항이 $-3$ 이므로 부호가 올바르게 번갈아 나타나는지를 보면 됩니다.

가장 흔한 실수는 $(a+b)^n$ 을 $a^n + b^n$ 으로 생각하는 것입니다. 일반적으로 이는 틀립니다. 가운데 항들이 중요하기 때문입니다.

또 다른 실수는 계수는 맞게 쓰고 지수를 틀리게 쓰는 것입니다. 모든 항에서 두 부분의 지수 합은 원래 지수 $n$ 이 되어야 합니다.

음수 부호도 자주 문제를 일으킵니다. $(2x-3)^4$ 에서 두 번째 항은 단순히 $3$ 이 아니라 $-3$ 이므로, 그 인수의 홀수 거듭제곱은 음수로 남고 짝수 거듭제곱은 양수가 됩니다.

이항정리는 완전한 다항식 전개가 필요할 때, 전개식의 특정 한 항만 구하고 싶을 때, 또는 반복해서 곱하지 않고 계수를 빠르게 읽어 내고 싶을 때 사용합니다.

처음에는 대수에서 등장하고, 이후에는 확률, 급수, 그리고 일부 미적분 근사에서도 나타납니다. 지수가 0 이상의 정수가 아니면 이 유한 공식은 더 이상 다항식을 주지 않으므로, 다른 형태의 아이디어가 필요합니다.

$(x+2)^5$ 를 전개해 보고, 정리하기 전에 두 가지를 확인해 보세요. 계수는 $1, 5, 10, 10, 5, 1$ 이어야 하고, 두 부분의 지수 합은 모든 항에서 $5$ 가 되어야 합니다.

한 단계 더 나아가고 싶다면, 풀이기에서 자신만의 식을 넣어 보고 특히 가운데 항들을 먼저 비교해 보세요. 계수와 부호 실수는 보통 그 부분에서 가장 빨리 드러납니다.

문제를 올리면 검증된 단계별 풀이를 몇 초 만에 받을 수 있습니다.