Teorema Binomial — Rumus, Ekspansi & Contoh

Teorema binomial memberi cara cepat untuk mengembangkan bentuk seperti $(a+b)^n$. Dalam versi standar yang dipakai di kelas aljabar, teorema ini berlaku saat $n$ adalah bilangan bulat tak negatif.

Daripada mengalikan $(a+b)(a+b)(a+b)$ secara manual, kamu bisa memakai satu pola untuk seluruh ekspansi:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Rumus ini memberi tahu koefisien setiap suku dan bagaimana pangkat $a$ dan $b$ berubah di sepanjang ekspansi.

Rumus Dan Pola Teorema Binomial

Setiap suku dalam ekspansi berbentuk

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

dengan $k$ berjalan dari $0$ sampai $n$.

Artinya, koefisiennya adalah $\binom{n}{k}$, pangkat $a$ turun dari $n$ ke $0$, dan pangkat $b$ naik dari $0$ ke $n$. Pada setiap suku, jumlah pangkatnya tetap $n$.

Sebagai contoh, saat $n=4$, koefisiennya adalah

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Bilangan-bilangan ini sama dengan baris ke-$4$ pada segitiga Pascal.

Mengapa Koefisiennya Bekerja

Jika kamu mengembangkan $(a+b)^n$, sebenarnya kamu sedang memilih satu suku dari masing-masing $n$ kurung yang identik:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Untuk mendapatkan suku dengan $b^k$, kamu harus memilih $b$ dari tepat $k$ kurung dan memilih $a$ dari sisanya. Banyak cara untuk melakukannya adalah $\binom{n}{k}$, sehingga hitungan itu menjadi koefisiennya.

Ini juga menjelaskan mengapa koefisien di tengah biasanya paling besar: ada lebih banyak cara membagi pilihan di sekitar tengah daripada di ujung.

Contoh Ekspansi Binomial: $(2x-3)^4$

Karena pangkatnya adalah $4$, teorema ini bisa langsung digunakan. Koefisiennya adalah

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Dengan menggunakan pola umum,

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Sekarang sederhanakan suku demi suku:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Jadi, hasil ekspansinya adalah

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Perhatikan dua pemeriksaan cepat yang membantu menemukan kesalahan dengan cepat: pangkat pada setiap suku berjumlah $4$, dan tandanya berganti dengan benar karena suku keduanya adalah $-3$.

Kesalahan Umum Dalam Teorema Binomial

Kesalahan yang paling umum adalah menganggap $(a+b)^n$ sama dengan $a^n + b^n$. Ini salah secara umum karena suku-suku tengah juga penting.

Kesalahan lain adalah memakai koefisien yang benar tetapi pangkat yang salah. Pada setiap suku, pangkat pada kedua bagian harus berjumlah sama dengan pangkat awal $n$.

Tanda negatif juga sering menimbulkan masalah. Pada $(2x-3)^4$, suku keduanya adalah $-3$, bukan hanya $3$, jadi pangkat ganjil dari faktor itu tetap negatif dan pangkat genap menjadi positif.

Kapan Menggunakan Teorema Binomial

Gunakan teorema binomial saat kamu membutuhkan ekspansi polinom lengkap, satu suku tertentu dalam suatu ekspansi, atau cara cepat untuk membaca koefisien tanpa perkalian berulang.

Teorema ini pertama muncul dalam aljabar, lalu nanti dipakai juga dalam probabilitas, deret, dan beberapa pendekatan dalam kalkulus. Jika pangkatnya bukan bilangan bulat tak negatif, rumus hingga ini tidak lagi menghasilkan polinom, jadi kamu memerlukan versi lain dari gagasan ini.

Coba Ekspansi Serupa

Kembangkan $(x+2)^5$ dan periksa dua hal sebelum menyederhanakan: koefisiennya harus $1, 5, 10, 10, 5, 1$, dan pangkat pada kedua bagiannya harus berjumlah $5$ pada setiap suku.

Kalau ingin melangkah lebih jauh, coba versimu sendiri di solver dan bandingkan suku-suku tengahnya terlebih dahulu. Di situlah kesalahan koefisien dan tanda biasanya paling cepat terlihat.