กฎเลขยกกำลัง — สมบัติของเลขยกกำลังพร้อมตัวอย่าง

กฎเลขยกกำลังบอกวิธีจัดการกับเลขยกกำลังเมื่อมีการคูณ หาร หรือยกกำลังซ้อนอีกชั้น หากคุณดูออกว่าโจทย์มีโครงสร้างแบบไหน โจทย์เลขยกกำลังส่วนใหญ่จะจัดรูปได้ในไม่กี่ขั้นตอน

ต่อไปนี้คือสมบัติหลักของเลขยกกำลัง:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

กฎเหล่านี้ไม่ได้ใช้เงื่อนไขเดียวกันทั้งหมด เงื่อนไขที่ห้ามเป็นศูนย์มีความสำคัญทุกครั้งที่มีการหารเข้ามาเกี่ยวข้อง

เลขชี้กำลังหมายถึงอะไร

เลขชี้กำลังบอกว่าฐานถูกนำมาใช้เป็นตัวประกอบกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

แนวคิดเรื่องการคูณซ้ำนี้อธิบายได้ว่าทำไมเลขชี้กำลังจึงบวกกันเมื่อคูณพจน์ที่มีฐานเดียวกัน เพราะคุณกำลังรวมกลุ่มของตัวประกอบชนิดเดียวกันเข้าด้วยกัน

กฎเลขยกกำลังหลักพร้อมตัวอย่าง

กฎการคูณ

ถ้าฐานเหมือนกัน ให้บวกเลขชี้กำลัง:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

ที่เป็นเช่นนี้เพราะมีตัวประกอบของ $x$ ทั้งหมด $3+5$ ตัว

กฎการหาร

ถ้าฐานเหมือนกันและฐานไม่เป็นศูนย์ ให้ลบเลขชี้กำลัง:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

คุณอาจมองว่านี่คือการตัดตัวประกอบที่ซ้ำกันออก

กำลังของกำลัง

เมื่อเลขยกกำลังหนึ่งถูกยกกำลังอีกครั้ง ให้คูณเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

นี่คือการคูณซ้ำของการคูณซ้ำอีกที

กำลังของผลคูณหรือผลหาร

กระจายเลขชี้กำลังไปยังการคูณและการหาร:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

เลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังลบ

สำหรับฐานใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์

$$a^0 = 1$$

และ

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

เลขชี้กำลังลบไม่ได้แปลว่าคำตอบเป็นลบ แต่แปลว่า “กลับเศษเป็นส่วนกลับ”

ตัวอย่างทำครบขั้นตอน: จัดรูปนิพจน์ด้วยกฎเลขยกกำลัง

จงจัดรูป

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

เริ่มจากวงเล็บ:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

ตอนนี้นิพจน์จะกลายเป็น

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

ใช้กฎการคูณที่ตัวเศษ:

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

ดังนั้นตอนนี้ได้

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นการทำอยู่ 3 แบบที่พบบ่อย: กระจายกำลังไปบนผลคูณ คูณเลขชี้กำลังในกำลังของกำลัง และลบเลขชี้กำลังเมื่อหารพจน์ที่มีฐานเดียวกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: เลขยกกำลังไม่กระจายบนการบวก

กฎเลขยกกำลังไม่สามารถกระจายบนการบวกได้แบบเดียวกัน โดยทั่วไป

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

ตัวอย่างเช่น

$$(2+3)^2 = 25$$

แต่

$$2^2 + 3^2 = 13$$

นี่เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยมาก กฎการคูณใช้กับการคูณ ไม่ใช่การบวก

เลขชี้กำลังเศษส่วนต้องมีเงื่อนไข

คุณอาจเห็นเลขชี้กำลังในรูป $a^{1/n}$ ด้วย สำหรับ $a$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

และโดยทั่วไป

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

สิ่งนี้มีประโยชน์มาก แต่โดเมนมีความสำคัญ ในพีชคณิตเบื้องต้น รูปแบบที่ปลอดภัยที่สุดในจำนวนจริงคือใช้กฎนี้เมื่อ $a > 0$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกฎเลขยกกำลัง

1. บวกเลขชี้กำลังตอนหาร ใน $\frac{x^8}{x^3}$ คำตอบที่ถูกต้องคือ $x^5$ ไม่ใช่ $x^{11}$
2. รวมเลขชี้กำลังทั้งที่ฐานไม่เหมือนกัน $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$ ไม่ใช่ $x^4$
3. อ่านเลขชี้กำลังลบผิด $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ ไม่ใช่ $-x^2$
4. ใช้ $a^0 = 1$ เมื่อ $a = 0$ นิพจน์ $0^0$ ต้องพิจารณาแยกต่างหาก และไม่อยู่ในกฎทั่วไปนี้
5. กระจายเลขชี้กำลังบนการบวก โดยทั่วไป $(a+b)^n$ ไม่สามารถจัดรูปเป็น $a^n+b^n$ ได้

กฎเลขยกกำลังใช้เมื่อใด

กฎเลขยกกำลังพบได้ในพีชคณิต การเขียนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ การจัดการพหุนาม สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล และลอการิทึม นอกจากนี้ยังปรากฏในแคลคูลัสภายหลัง เมื่อจำเป็นต้องเขียนเลขยกกำลังใหม่ก่อนการหาอนุพันธ์หรืออินทิกรัล

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองจัดรูป

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

จากนั้นตรวจดูว่าแต่ละขั้นใช้กฎจริง ๆ ไม่ใช่ทางลัด ถ้าคุณอยากลองต่ออีกขั้น ให้สร้างโจทย์แบบเดียวกันของตัวเองในตัวแก้โจทย์ แล้วเปรียบเทียบว่าเลขชี้กำลังเปลี่ยนไปทีละบรรทัดอย่างไร