Binomischer Lehrsatz — Formel, Entwicklung & Beispiele

Der binomische Lehrsatz liefert eine schnelle Methode, um Ausdrücke wie $(a+b)^n$ zu entwickeln. In der Standardform, die im Algebraunterricht verwendet wird, gilt er, wenn $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist.

Statt $(a+b)(a+b)(a+b)$ von Hand auszumultiplizieren, kannst du ein einziges Muster für die gesamte Entwicklung verwenden:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Diese Formel gibt dir den Koeffizienten jedes Terms an und zeigt, wie sich die Potenzen von $a$ und $b$ in der Entwicklung verändern.

Formel und Muster des binomischen Lehrsatzes

Jeder Term in der Entwicklung hat die Form

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

wobei $k$ von $0$ bis $n$ läuft.

Das bedeutet: Der Koeffizient ist $\binom{n}{k}$, die Potenz von $a$ sinkt von $n$ auf $0$, und die Potenz von $b$ steigt von $0$ auf $n$. In jedem Term ergeben die Exponenten zusammen weiterhin $n$.

Wenn zum Beispiel $n=4$ ist, lauten die Koeffizienten

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Das sind dieselben Zahlen wie in der $4$-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

Warum die Koeffizienten funktionieren

Wenn du $(a+b)^n$ entwickelst, wählst du eigentlich aus jeder der $n$ identischen Klammern genau einen Term aus:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Um einen Term mit $b^k$ zu erhalten, musst du aus genau $k$ Klammern das $b$ wählen und aus den übrigen das $a$. Die Anzahl dieser Möglichkeiten ist $\binom{n}{k}$, und genau diese Anzahl wird zum Koeffizienten.

Das erklärt auch, warum die mittleren Koeffizienten meist die größten sind: In der Mitte gibt es mehr Möglichkeiten, die Auswahl aufzuteilen, als an den Rändern.

Beispiel zur binomischen Entwicklung: $(2x-3)^4$

Da der Exponent $4$ ist, kann der Lehrsatz direkt angewendet werden. Die Koeffizienten sind

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Mit dem allgemeinen Muster erhält man

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Nun vereinfachen wir Term für Term:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Also ist die Entwicklung

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Beachte zwei schnelle Kontrollen, mit denen du Fehler leicht erkennen kannst: Die Exponenten in jedem Term ergeben zusammen $4$, und die Vorzeichen wechseln korrekt, weil der zweite Term $-3$ ist.

Häufige Fehler beim binomischen Lehrsatz

Der häufigste Fehler ist, $(a+b)^n$ als $a^n + b^n$ zu behandeln. Das ist im Allgemeinen falsch, weil die mittleren Terme wichtig sind.

Ein weiterer Fehler ist, die richtigen Koeffizienten mit den falschen Potenzen zu kombinieren. In jedem Term sollten die Exponenten der beiden Teile zusammen den ursprünglichen Exponenten $n$ ergeben.

Auch negative Vorzeichen führen oft zu Problemen. In $(2x-3)^4$ ist der zweite Term $-3$ und nicht einfach nur $3$, daher bleiben ungerade Potenzen dieses Faktors negativ und gerade Potenzen werden positiv.

Wann man den binomischen Lehrsatz verwendet

Verwende den binomischen Lehrsatz, wenn du eine vollständige Polynomentwicklung brauchst, einen bestimmten Term in einer Entwicklung suchst oder Koeffizienten schnell ablesen willst, ohne wiederholt auszumultiplizieren.

Er taucht zuerst in der Algebra auf und später auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei Reihen und in manchen Näherungen der Analysis. Wenn der Exponent keine nichtnegative ganze Zahl ist, liefert diese endliche Formel kein Polynom mehr, und du brauchst eine andere Version der Idee.

Probiere eine ähnliche Entwicklung aus

Entwickle $(x+2)^5$ und prüfe zwei Dinge, bevor du vereinfachst: Die Koeffizienten sollten $1, 5, 10, 10, 5, 1$ sein, und die Exponenten der beiden Teile sollten in jedem Term zusammen $5$ ergeben.

Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, probiere deine eigene Version im Solver aus und vergleiche zuerst die mittleren Terme. Dort treten Fehler bei Koeffizienten und Vorzeichen meist am schnellsten auf.