Théorème du binôme — formule, développement et exemples

Le théorème du binôme donne une méthode rapide pour développer des expressions comme $(a+b)^n$. Dans sa version classique utilisée en algèbre, il s’applique lorsque $n$ est un entier non négatif.

Au lieu de multiplier $(a+b)(a+b)(a+b)$ à la main, vous pouvez utiliser un seul schéma pour tout le développement :

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Cette formule donne le coefficient de chaque terme et montre comment les puissances de $a$ et de $b$ évoluent dans le développement.

Formule et schéma du théorème du binôme

Chaque terme du développement est de la forme

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

avec $k$ allant de $0$ à $n$.

Cela signifie que le coefficient est $\binom{n}{k}$, que la puissance de $a$ descend de $n$ à $0$, et que la puissance de $b$ monte de $0$ à $n$. Dans chaque terme, la somme des exposants reste égale à $n$.

Par exemple, lorsque $n=4$, les coefficients sont

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Ce sont les mêmes nombres que sur la $4$-ième ligne du triangle de Pascal.

Pourquoi les coefficients fonctionnent

Si vous développez $(a+b)^n$, vous choisissez en réalité un terme dans chacun des $n$ facteurs identiques :

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Pour obtenir un terme en $b^k$, il faut choisir $b$ dans exactement $k$ facteurs et choisir $a$ dans tous les autres. Le nombre de façons de le faire est $\binom{n}{k}$, et ce nombre devient donc le coefficient.

C’est aussi pour cela que les coefficients du milieu sont généralement les plus grands : il y a plus de façons de répartir les choix près du centre qu’aux extrémités.

Exemple de développement : $(2x-3)^4$

Comme l’exposant est $4$, le théorème s’applique directement. Les coefficients sont

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

En utilisant le schéma général,

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Simplifions maintenant terme par terme :

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Donc, le développement est

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Remarquez deux vérifications rapides qui aident à repérer vite les erreurs : les exposants de chaque terme s’additionnent pour donner $4$, et les signes alternent correctement parce que le second terme est $-3$.

Erreurs fréquentes avec le théorème du binôme

L’erreur la plus fréquente consiste à traiter $(a+b)^n$ comme $a^n + b^n$. C’est faux en général, car les termes du milieu comptent.

Une autre erreur consiste à utiliser les bons coefficients avec les mauvaises puissances. Dans chaque terme, les exposants des deux parties doivent s’additionner pour redonner l’exposant initial $n$.

Les signes négatifs posent aussi souvent problème. Dans $(2x-3)^4$, le second terme est $-3$, et pas simplement $3$, donc les puissances impaires de ce facteur restent négatives et les puissances paires deviennent positives.

Quand utiliser le théorème du binôme

Utilisez le théorème du binôme lorsque vous avez besoin d’un développement polynomial complet, d’un terme précis dans un développement, ou d’une méthode rapide pour lire les coefficients sans faire de multiplications répétées.

On le rencontre d’abord en algèbre, puis plus tard en probabilités, en séries et dans certaines approximations en calcul. Si l’exposant n’est pas un entier non négatif, cette formule finie ne donne plus un polynôme, et il faut alors utiliser une autre version de l’idée.

Essayez un développement similaire

Développez $(x+2)^5$ et vérifiez deux choses avant de simplifier : les coefficients doivent être $1, 5, 10, 10, 5, 1$, et les exposants des deux parties doivent s’additionner pour donner $5$ dans chaque terme.

Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version dans le solveur et comparez d’abord les termes du milieu. C’est là que les erreurs de coefficient et de signe apparaissent généralement le plus vite.