Teorema del binomio — fórmula, desarrollo y ejemplos

El teorema del binomio da una forma rápida de desarrollar expresiones como $(a+b)^n$. En la versión estándar que se usa en álgebra, se aplica cuando $n$ es un entero no negativo.

En lugar de multiplicar $(a+b)(a+b)(a+b)$ a mano, puedes usar un solo patrón para todo el desarrollo:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Esta fórmula te dice el coeficiente de cada término y cómo cambian las potencias de $a$ y $b$ a lo largo del desarrollo.

Fórmula y patrón del teorema del binomio

Cada término del desarrollo tiene la forma

$$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

con $k$ variando de $0$ a $n$.

Eso significa que el coeficiente es $\binom{n}{k}$, la potencia de $a$ baja de $n$ a $0$, y la potencia de $b$ sube de $0$ a $n$. En cada término, los exponentes siguen sumando $n$.

Por ejemplo, cuando $n=4$, los coeficientes son

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Estos son los mismos números que aparecen en la fila 4 del triángulo de Pascal.

Por qué funcionan los coeficientes

Si desarrollas $(a+b)^n$, en realidad estás eligiendo un término de cada uno de los $n$ paréntesis idénticos:

$$(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$$

Para obtener un término con $b^k$, debes elegir $b$ en exactamente $k$ paréntesis y elegir $a$ en los demás. El número de formas de hacerlo es $\binom{n}{k}$, así que esa cantidad se convierte en el coeficiente.

Por eso también los coeficientes del medio suelen ser los más grandes: hay más formas de repartir las elecciones cerca del centro que en los extremos.

Ejemplo de desarrollo binomial: $(2x-3)^4$

Como el exponente es $4$, el teorema se aplica directamente. Los coeficientes son

$$1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$$

Usando el patrón general,

$$(2x-3)^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4$$

Ahora simplifica término por término:

$$(2x)^4 = 16x^4$$ $$4(2x)^3(-3) = 4(8x^3)(-3) = -96x^3$$ $$6(2x)^2(-3)^2 = 6(4x^2)(9) = 216x^2$$ $$4(2x)(-3)^3 = 4(2x)(-27) = -216x$$ $$(-3)^4 = 81$$

Así que el desarrollo es

$$(2x-3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

Fíjate en dos comprobaciones rápidas que ayudan a detectar errores enseguida: los exponentes de cada término suman $4$, y los signos alternan correctamente porque el segundo término es $-3$.

Errores comunes en el teorema del binomio

El error más común es tratar $(a+b)^n$ como $a^n + b^n$. Eso es falso en general porque los términos del medio importan.

Otro error es usar los coeficientes correctos con las potencias equivocadas. En cada término, los exponentes de las dos partes deben sumar el exponente original $n$.

Los signos negativos también causan problemas. En $(2x-3)^4$, el segundo término es $-3$, no solo $3$, así que las potencias impares de ese factor siguen siendo negativas y las potencias pares se vuelven positivas.

Cuándo usar el teorema del binomio

Usa el teorema del binomio cuando necesites un desarrollo polinómico completo, un término específico de un desarrollo o una forma rápida de leer coeficientes sin multiplicar repetidamente.

Aparece primero en álgebra y después en probabilidad, series y algunas aproximaciones de cálculo. Si el exponente no es un entero no negativo, esta fórmula finita ya no da un polinomio, así que necesitas una versión distinta de la idea.

Prueba un desarrollo parecido

Desarrolla $(x+2)^5$ y comprueba dos cosas antes de simplificar: los coeficientes deben ser $1, 5, 10, 10, 5, 1$, y los exponentes de las dos partes deben sumar $5$ en cada término.

Si quieres ir un paso más allá, prueba tu propia versión en el solver y compara primero los términos del medio. Ahí es donde los errores de coeficientes y signos suelen aparecer más rápido.