Objętość kuli — wzór i rozwiązane przykłady

Objętość kuli to przestrzeń znajdująca się wewnątrz kuli. Jeśli promień wynosi $r$, użyj wzoru

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

W tym wzorze używa się promienia, a nie średnicy. Jeśli w zadaniu podano średnicę $d$, najpierw przelicz ją na promień:

$$r = \frac{d}{2}$$

Ten jeden krok pozwala uniknąć najczęstszego błędu w zadaniach o objętości kuli.

Wynik zapisuje się w jednostkach sześciennych, takich jak $\text{cm}^3$ lub $\text{m}^3$, ponieważ objętość mierzy przestrzeń trójwymiarową.

Dlaczego we wzorze występuje $r^3$

Wyrażenie $r^3$ pokazuje, że objętość zależy od rozmiaru w trzech wymiarach, a nie tylko od długości lub pola. Dlatego objętość zmienia się bardzo szybko, gdy zmienia się promień.

Na przykład, jeśli promień podwoi się z $r$ do $2r$, to

$$V_{\text{new}} = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$$

Zatem podwojenie promienia sprawia, że objętość staje się $8$ razy większa. To przydatna kontrola, gdy wynik wydaje się zbyt mały.

Przykład rozwiązany: oblicz objętość ze średnicy

Załóżmy, że kula ma średnicę $10$ cm. Oblicz jej objętość.

Najpierw zamień średnicę na promień:

$$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Teraz podstaw $r = 5$ do wzoru:

$$V = \frac{4}{3}\pi (5^3)$$

Ponieważ $5^3 = 125$,

$$V = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$$

Zatem dokładna objętość wynosi

$$\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3$$

Jeśli trzeba podać przybliżenie dziesiętne,

$$V \approx 523.6\ \text{cm}^3$$

Ten przykład jest przydatny, ponieważ w wielu zadaniach podaje się średnicę zamiast promienia.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu objętości kuli

1. Użycie średnicy bezpośrednio zamiast promienia.
2. Podniesienie promienia do kwadratu zamiast do trzeciej potęgi.
3. Mylenie objętości z polem powierzchni. Pole powierzchni kuli wynosi $4\pi r^2$, co jest innym wzorem.
4. Pominięcie jednostek sześciennych w końcowej odpowiedzi.

Jeśli w zadaniu trzeba podać wartość dokładną, zostaw wynik w postaci z $\pi$. Jeśli trzeba podać przybliżenie, zaokrąglij dopiero na końcu, chyba że nauczyciel zaleci inaczej.

Kiedy stosuje się wzór na objętość kuli

Objętość kuli pojawia się w zadaniach z geometrii, pomiarów i nauk przyrodniczych wszędzie tam, gdzie obiekt można w przybliżeniu modelować jako kulę. Typowe przykłady to piłki, bańki, krople i niektóre zbiorniki.

Warunki mają znaczenie. Jeśli obiekt jest tylko w przybliżeniu kulisty, to wynik również będzie przybliżeniem.

Szybkie sprawdzenie przed przejściem dalej

Jeśli promień rośnie, objętość powinna rosnąć znacznie szybciej niż sam promień. Na przykład potrojenie promienia powoduje zwiększenie objętości $3^3 = 27$ razy. Jeśli twoje końcowe liczby nie pokazują takiego wzrostu, sprawdź jeszcze raz sposób rozwiązania.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż własną wersję dla kuli o promieniu $4$ m. Najpierw oblicz dokładną objętość, a potem jej przybliżenie dziesiętne. Następnie zmień tylko promień na $8$ m i porównaj oba wyniki, aby zobaczyć, jak silnie wyrażenie $r^3$ wpływa na objętość.