이차방정식 푸는 법

이차방정식을 푼다는 것은 식을 표준형으로 고친 뒤, 방정식을 참이 되게 하는 $x$의 값 또는 값들을 찾는다는 뜻입니다. 표준형은

$$ax^2 + bx + c = 0$$

이며, 여기서 $a \ne 0$입니다. 학생들이 푸는 대부분의 문제는 세 가지 방법으로 정리됩니다. 인수분해, 완전제곱식 만들기, 또는 근의 공식입니다. 핵심은 눈앞의 식에 가장 간단한 방법을 고르는 것입니다.

이차방정식을 푼다는 뜻

여기서 찾는 것은 방정식의 근, 즉 해입니다. 그래프로 보면 이것은 포물선이 $x$축과 만나는 $x$값입니다.

이차방정식은 서로 다른 두 실근, 중근 하나, 또는 실근이 없을 수 있습니다. 복소수 범위에서 생각하면, 모든 이차방정식은 중복도를 포함해 항상 두 해를 가집니다.

방법을 고르는 법

계산을 시작하기 전에 모든 항을 한쪽으로 옮겨 반대쪽이 $0$이 되게 하세요. 그러면 식의 구조가 더 잘 보이고 어떤 방법이 맞는지 판단하기 쉬워집니다.

• 식이 깔끔하게 인수분해되면, 보통 인수분해가 가장 빠릅니다.
• 식이 완전제곱식 꼴에 가깝다면, 완전제곱식 만들기가 효율적일 수 있습니다.
• 어느 쪽도 편하지 않다면, 근의 공식은 모든 이차방정식에 사용할 수 있습니다.

또 하나 유용한 지름길은 판별식,

$$b^2 - 4ac$$

입니다. 이것은 어떤 종류의 실근이 나올지 알려줍니다.

• $b^2 - 4ac > 0$이면 서로 다른 두 실근이 있습니다.
• $b^2 - 4ac = 0$이면 중근 하나가 있습니다.
• $b^2 - 4ac < 0$이면 실근이 없습니다.

판별식만으로 방정식이 풀리지는 않지만, 계산을 시작하기 전에 어떤 답이 나와야 자연스러운지 미리 알 수 있습니다.

세 가지 주요 방법

인수분해

인수분해는 이차식을 다음과 같은 곱의 형태로 쓸 수 있을 때 유용합니다.

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

그다음 곱이 $0$이면 적어도 한 인수는 $0$이어야 한다는 영곱법칙을 사용합니다. 따라서 해는 $x = 2$와 $x = 3$입니다.

완전제곱식 만들기

완전제곱식 만들기는 이차식을 다음과 같은 형태로 바꾸는 방법입니다.

$$(x - h)^2 = k$$

이 방법은 인수분해가 어색할 때 특히 유용하며, 식을 제곱된 표현으로 보고 싶을 때 도움이 됩니다.

근의 공식

방정식이 표준형일 때는 언제나 근의 공식을 사용할 수 있습니다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

가장 확실한 일반적인 방법이지만, 이차식이 바로 인수분해된다면 항상 가장 빠른 방법은 아닙니다.

예제: $x^2 - 5x + 6 = 0$ 풀기

이 방정식은 이미 표준형이므로, 먼저 인수분해가 되는지 확인합니다. 곱해서 $6$이 되고 더해서 $-5$가 되는 두 수가 필요합니다. 그 수는 $-2$와 $-3$이므로,

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

이제 다음을 풉니다.

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

이제 각 인수를 $0$과 같게 둡니다.

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0$$

따라서 해는

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3$$

입니다. 원래 식에 두 답을 모두 대입해 확인해 봅시다.

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

두 경우 모두 성립하므로 해가 맞습니다.

자주 하는 실수

흔한 실수 하나는 모든 항을 한쪽으로 옮기기 전에 방법부터 정하는 것입니다. 예를 들어 $x^2 = 5x - 6$은 $x^2 - 5x + 6 = 0$으로 고치면 훨씬 풀기 쉬워집니다.

또 다른 실수는 해 하나를 빠뜨리는 것입니다. 이차방정식은 두 실근을 가질 수 있으므로, 인수분해를 했거나 근의 공식의 $\pm$를 사용했다면 가능한 두 경우를 모두 챙겨야 합니다.

세 번째 실수는 근의 공식에서 $a$, $b$, $c$의 부호를 잘못 넣는 것입니다. 이런 일은 보통 방정식을 먼저 표준형으로 쓰지 않았을 때 생깁니다.

어디에 쓰이나요

이차방정식은 대수, 그래프, 최적화, 운동 문제에서 자주 등장합니다. 어떤 관계식에 제곱된 변수가 들어 있으면, 이차방정식을 푸는 과정이 의미 있는 $x$값을 찾는 핵심 단계가 되는 경우가 많습니다.

어떤 방법을 쓸지는 식에 따라 달라집니다. 깔끔하게 인수분해되는 이차식은 패턴을 알아보는 힘이 중요합니다. 더 복잡한 식은 근의 공식을 쓰는 편이 더 나은 경우가 많습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$x^2 - 7x + 12 = 0$을 풀어 보고, 계산하기 전에 어떤 방법을 쓸지 먼저 정해 보세요. 다음 단계로는 같은 방정식을 인수분해와 근의 공식 두 방법으로 모두 풀어 보고, 어느 쪽이 더 직접적으로 느껴지는지 비교해 보는 것이 좋습니다.