적분의 치환적분법

치환적분법은 $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ 같은 식에 쓰는 대표적인 적분 방법입니다. 안쪽 식을 $u$로 두고, 대응하는 도함수 부분을 $du$로 바꾸면 적분이 더 단순한 형태로 바뀝니다.

한 함수가 다른 함수 안에 분명히 들어 있고, 그 안쪽 식의 도함수도 정확히 있거나 0이 아닌 상수배 형태로 함께 있을 때 사용합니다.

치환적분법의 의미

기본 형태는 다음과 같습니다.

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

여기서 $u = g(x)$라고 두면 $du = g'(x)\,dx$이므로, 적분은

$$\int f(u)\,du$$

가 됩니다.

이것이 핵심입니다. 복잡한 안쪽 식을 하나의 변수로 바꾸면, 원시함수를 훨씬 쉽게 알아볼 수 있습니다.

언제 치환적분법이 통하는지 알아보는 법

치환적분법은 적분식에 합성함수 구조가 뚜렷할 때 가장 잘 맞습니다. 쉽게 말해, 한 함수가 다른 함수 안에 들어 있고 안쪽 식의 도함수도 어떤 형태로 함께 나타나야 합니다.

대표적인 형태로는 $(x^2+1)^5$ 같은 거듭제곱, $\sqrt{3x-2}$ 같은 루트, $e^{x^2}$ 같은 지수함수, $\cos(x^3)$ 같은 삼각함수 식이 있습니다.

안쪽 식의 도함수가 완전히 빠져 있으면 치환이 도움이 되지 않을 수 있습니다. 반대로 0이 아닌 상수배만큼만 차이 난다면, 그 상수를 먼저 밖으로 빼거나 안으로 넣어서 맞출 수 있는 경우가 많습니다.

예제: $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$

다음을 구해 봅시다.

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

분모에는 안쪽 식 $x^2+1$이 있고, 그 도함수는 $2x$입니다. 분자는 그 절반인 $x$이므로 치환적분을 하기에 충분히 가깝습니다.

다음과 같이 둡니다.

$$u = x^2 + 1$$

그러면

$$du = 2x\,dx$$

이므로

$$x\,dx = \frac{1}{2}du$$

적분식을 다시 쓰면

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$

이제 적분하면

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

다시 원래 변수로 바꾸면

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

입니다.

여기서는 모든 실수 $x$에 대해 $x^2+1 > 0$이므로 $\ln(x^2+1)$라고 써도 괜찮습니다.

왜 치환적분법이 자연스러운가

미분의 연쇄법칙에 따르면 바깥 함수는 안쪽 식의 도함수만큼의 인수를 함께 얻게 됩니다. 치환적분법은 이 과정을 거꾸로 따라가는 방법입니다. 안쪽 식을 하나의 기호로 묶고, 도함수 부분을 그에 대응하는 미분으로 보는 것입니다.

그래서 이 방법은 단순한 패턴 맞추기가 아닙니다. 연쇄법칙을 구조적으로 되돌리는 과정입니다.

치환적분에서 자주 하는 실수

1. 도함수가 함께 있는지 확인하지 않고 $u$를 정하는 것. 대응하는 도함수 항이 없으면 치환해도 식이 더 쉬워지지 않을 수 있습니다.
2. 상수배 조정을 빼먹는 것. 위 예제에서 $du = 2x\,dx$를 썼는데 $\frac{1}{2}$를 무시하면 답이 틀립니다.
3. 치환한 뒤 변수를 섞어 쓰는 것. 한 번 $u$로 바꿨다면 다시 치환하기 전까지는 적분식 전체가 $u$로만 써져 있어야 합니다.
4. 부정적분에서 $+C$를 빼먹는 것.
5. 정적분에서 변수를 $u$로 유지하면서도 예전의 $x$ 구간을 그대로 쓰는 것. $u$로 적분한다면 구간도 $u$값으로 바꿔야 합니다.

정적분에서의 치환적분

정적분에서는 마지막 단계를 두 가지 올바른 방법으로 처리할 수 있습니다.

하나는 다시 $x$로 치환한 뒤 원래 구간을 쓰는 방법입니다. 다른 하나는 $u$ 상태를 유지한 채 바로 적분 구간을 바꾸는 방법입니다.

예를 들어

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$$

에서 $u=x^2$로 두면 새로운 구간은 $u=0$, $u=1$이므로

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$$

이 됩니다.

중요한 점은 일관성입니다. $u$와 $x$ 구간을 섞어 쓰면 안 됩니다.

치환적분법은 어디에 쓰이나

치환적분법은 미적분에서 가장 먼저 배우는 중요한 적분 기법 중 하나입니다. 많은 원시함수는 식을 그대로 보면 공식에 바로 맞지 않지만, 형태를 바꾸면 쉽게 보이기 때문입니다.

기초 미적분, 미분방정식, 확률, 물리, 공학 등에서 안쪽 식과 그 변화율로 양이 자연스럽게 표현될 때 자주 등장합니다.

비슷한 치환적분 문제를 풀어 보세요

다음을 직접 풀어 보세요.

$$\int (3x^2)\,e^{x^3}\,dx$$

바로 답을 찾기 전에 먼저 시도해 보세요. $u=x^3$로 두면 적분이 빠르게 단순해질 것입니다. 다 풀고 나면 최종 답을 다시 $x$로 바꾸었는지, 상수배를 정확히 처리했는지도 확인해 보세요.