分数の足し算 — 同分母と異分母

分数の足し算とは、同じ 1 つの全体の部分を合わせることです。分母がすでに同じなら、分子を足して分母はそのままにします。分母が異なるときは、先に公分母で分数を書き換えます。

基本のルールは

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

ですが、これは 2 つの分数が同じ大きさの部分を数えているときにだけ成り立ちます。$\frac{2}{7}$ と $\frac{3}{7}$ はどちらも 7 分のいくつなので、そのまま足せます。$\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{4}$ は、同じ単位に直すまで足すことはできません。

同分母の分数の足し算

同分母の分数は、すでに同じ単位で表されているので、そのまま足せます。

たとえば、

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}.$$

分母の $7$ はそのままです。1 つ 1 つの部分の大きさは変わっていないからです。全体で 7 分のいくつあるかを数えているだけです。

異分母の分数の足し算

分母が異なるときは、まず同じ分母になるように分数を書き換えます。最小公分母を使うと、数が小さくなりやすく、計算しやすいことが多いです。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ では、公分母として $12$ が使えます。

$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.$$

これで両方とも 12 分のいくつで表されたので、足し算ができます。

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.$$

ここで大切なのは、量そのものは変わっていないということです。変えているのは単位であり、2 つの分数が同じ大きさの部分を表すようにしているのです。

例題: $\frac{3}{8} + \frac{1}{6}$

分母が異なるので、$3+1$ や $8+6$ としてはいけません。まず公分母を見つけます。

$8$ と $6$ の最小公倍数は $24$ なので、両方の分数を 24 分のいくつに書き換えます。

$$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{4}{24}.$$

次に分子を足します。

$$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}.$$

$13$ と $24$ には $1$ より大きい公約数がないので、$\frac{13}{24}$ はすでに既約分数です。したがって、

$$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{13}{24}.$$

分数の足し算でよくあるミス

よくあるミスの 1 つは、分子と分母の両方を足してしまうことです。たとえば、

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}.$$

これは正しくありません。3 分の 1 と 4 分の 1 は、部分の大きさが違うからです。

もう 1 つのミスは、分数を同値な分数に直すときに、分母だけを変えて分子を変えないことです。$\frac{1}{3}$ を 12 分のいくつに直すなら、$\frac{1}{12}$ ではなく $\frac{4}{12}$ です。

3 つ目のミスは、答えを約分できるのにしないことです。たとえば、

$$\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

分数の足し算が使われる場面

分数の足し算は、1 つの全体の部分を合わせる場面でよく使われます。たとえば、レシピ、測定、確率、分数式を含む代数の問題などです。

同じ公分母の考え方は、分数の引き算でもそのまま使います。この考え方がわかれば、どちらの計算もずっと確認しやすくなります。

似た問題に挑戦してみよう

$\frac{5}{12} + \frac{1}{8}$ を自分でやってみましょう。公分母を見つけて、両方の分数を書き換え、できれば最後に約分してください。