질량수지 — 화학공학

질량수지(물질수지라고도 함)는 어떤 계로 들어오는 질량에서 나가는 질량을 뺀 값이 계 내부에 축적되는 양과 일치해야 한다는 원리입니다. 화학공학에서는 혼합기, 분리기, 반응기, 증발기, 저장탱크를 해석할 때 가장 먼저 출발하는 개념입니다.

핵심 아이디어는 질량보존입니다. 총질량에 대해서는 일반적인 화학공정에서 질량이 생성되거나 소멸하지 않으므로, 유입과 유출의 차이는 반드시 축적으로 나타나야 합니다. 반면 물, 소금, 에탄올 같은 성분수지에서는 총질량은 여전히 보존되더라도 반응에 의해 특정 성분이 생성되거나 소비될 수 있습니다.

질량수지식: 기본 형태

가장 안전한 출발점은 일반적인 수지식입니다:

$$\text{accumulation} = \text{in} - \text{out} + \text{generation} - \text{consumption}.$$

이 식은 무엇에 대해 수지를 잡는지 먼저 분명히 했을 때만 올바르게 쓸 수 있습니다.

• 총질량수지에서는 일반적인 화학공학 문제에서 생성항과 소비항이 0이므로,

$$\text{accumulation of total mass} = \text{mass in} - \text{mass out}.$$

• 성분수지에서는 반응이 일어나면 생성항과 소비항이 0이 아닐 수 있습니다.

공정이 정상상태라면 축적항은 0입니다. 그러면 식은 다음과 같이 됩니다.

$$\text{in} + \text{generation} = \text{out} + \text{consumption}.$$

계가 채워지거나 비워지거나, 또는 시간에 따라 변하고 있다면 축적항을 빼면 안 됩니다.

질량수지가 실제로 하는 일

질량수지는 물리적인 장부정리와 같습니다. 관심 있는 공정 부분을 둘러싸는 경계를 그리고, 그 경계를 통과하는 것을 추적하는 것입니다.

대부분의 입문 문제에서는 다음 세 가지 질문이면 충분합니다.

• 경계 안으로 무엇이 들어오는가?
• 경계 밖으로 무엇이 나가는가?
• 내부에서 무엇이 축적되거나, 생성되거나, 소비되는가?

이 질문들에 대한 답이 분명하면 대수 계산은 대개 어렵지 않습니다.

풀이 예제: 정상상태 혼합

어떤 혼합기로 다음 두 유입이 들어온다고 가정합시다.

• 질량 기준으로 소금이 $10\%$ 들어 있는 소금물 $100\ \mathrm{kg/h}$
• 순수한 물 $50\ \mathrm{kg/h}$

정상상태이고 반응이 없다고 가정합니다. 출구 유량과 출구의 소금 조성을 구해 봅시다.

1단계: 전체 질량수지

정상상태에서는 총 축적량이 0이므로,

$$\text{mass in} = \text{mass out}.$$

총 유입량은

$$100 + 50 = 150\ \mathrm{kg/h}.$$

따라서 출구 유량은

$$150\ \mathrm{kg/h}.$$

2단계: 소금 성분수지

소금은 첫 번째 유입에만 들어 있습니다. 그 유입의 소금 유량은

$$0.10 \times 100 = 10\ \mathrm{kg/h}.$$

물 유입은 소금을 $0\ \mathrm{kg/h}$만큼 기여합니다. 반응이 없고 소금의 축적도 없으므로,

$$\text{salt out} = 10\ \mathrm{kg/h}.$$

3단계: 출구 조성으로 변환

출구에서의 소금 질량분율은

$$w_{\mathrm{salt}} = \frac{10}{150} = 0.0667.$$

따라서 출구 유체는 질량 기준으로 약 $6.67\%$의 소금을 포함합니다.

이것이 많은 공정 문제에서 나타나는 전형적인 패턴입니다. 전체 질량수지는 총 유량을 주고, 성분수지는 조성을 구하게 해 줍니다.

질량수지에서 흔한 실수

총질량수지와 성분수지를 혼동하기

총질량에 대해서는 일반적인 화학공정에서 반응이 질량을 생성하거나 소멸시키지 않습니다. 하지만 특정 성분에 대해서는 반응이 그 성분을 생성하거나 소비할 수 있습니다. 잘못된 형태의 식을 쓰면 전체 설정이 무너집니다.

확인도 없이 정상상태라고 가정하기

정상상태란 시간에 따른 축적이 없다는 뜻입니다. 탱크가 차고 있거나 비워지고 있다면 보통 정상상태가 아닙니다. 조건이 변하고 있다면 축적항을 반드시 수지식에 남겨야 합니다.

기준을 잊어버리기

질량수지에는 시간당, 배치당, 또는 원료 $100\ \mathrm{kg}$당 같은 명확한 기준이 필요합니다. 많은 오답은 어려운 화학 때문이 아니라 일관되지 않은 단위 때문에 나옵니다.

하나로 충분하지 않은데 수지식을 하나만 쓰기

전체 수지만으로는 조성을 구할 수 없는 경우가 많습니다. 유량과 조성을 둘 다 구해야 한다면, 보통 전체 수지 하나와 적어도 하나의 성분수지가 필요합니다.

질량수지는 어디에 쓰이는가

질량수지는 화학공학 전반에서 사용됩니다.

• 혼합기와 분배기의 크기 산정 및 검토
• 분리공정에서 용매 손실 추적
• 화학양론과 함께 반응기 해석
• 재순환 및 퍼지 유량 추정
• 물이나 공기 중 오염물질 같은 환경 유출입 검토

또한 에너지수지, 공정제어, 플랜트 데이터 정합의 출발점이기도 합니다.

질량수지 문제를 세우는 간단한 방법

문제가 복잡해 보일 때는 다음 순서를 따르세요.

1. 계의 경계를 그린다.
2. 알려진 모든 유량과 조성을 표시한다.
3. 기준을 정하고 단위를 일관되게 유지한다.
4. 공정이 정상상태인지 판단한다.
5. 전체 수지를 먼저 쓰고, 그다음 필요한 성분수지를 쓴다.

이 방법은 공정 종류마다 특별한 공식을 외우려는 것보다 더 믿을 만합니다.

비슷한 질량수지 문제를 직접 해보기

예제를 바꿔서 두 번째 유입이 순수한 물이 아니라, 질량 기준으로 소금이 $5\%$ 들어 있는 소금물 $20\ \mathrm{kg/h}$라고 해 봅시다. 같은 두 단계 구조를 사용하세요. 먼저 전체 질량수지를 써서 출구 유량을 구하고, 그다음 소금 수지를 써서 출구 조성을 구해 보세요.