単利の公式 — I = PRT を例題でわかりやすく解説

単利の公式は $I = Prt$ です。これは、利息が過去の利息ではなく、元の元本に対してだけ計算されるときに、支払う利息や受け取る利息がいくらになるかを表します。

$P$ を元本、$r$ を小数で表した利率、$t$ を時間とすると、

$$I = Prt$$

となります。

この式で求められるのは利息だけです。利息を含めた合計金額も求めたい場合は、元本を足し戻します。

$$A = P + I = P(1 + rt)$$

このモデルを使うのは、問題文に単利と書かれている場合だけです。利息が残高に組み込まれ、その増えた残高に対して次の利息が計算されるなら、それは複利です。

$I = Prt$ の意味

$P$ は元本で、借りた金額や投資した元の金額です。

$r$ は利率を小数で表したものです。たとえば、$6\% = 0.06$ です。

$t$ は時間です。$r$ が年利なら、$t$ は年で表さなければなりません。

この条件は重要です。たとえば、年利で $18$ か月と与えられたら、$t = 18$ ではなく $t = 18/12 = 1.5$ とします。

単利の公式が成り立つ理由

単利では、計算のもとになる金額が変わりません。各期間の利息は毎回同じ元本から計算されるので、利息は一定の割合で増えていきます。

そのため、増え方は線形です。時間が2倍になれば利息も2倍になります。利率が半分になれば、利息も半分になります。

例題：$2{,}000$ を $4\%$ で $18$ か月

元本が $P = 2000$、年単利の利率が $r = 4\%$、時間が $t = 18$ か月のローンを考えます。

まず、利率を小数にし、時間を年に直します。

$$r = 0.04,\quad t = \frac{18}{12} = 1.5$$

次に、公式に代入します。

$$I = Prt = 2000(0.04)(1.5)$$ $$I = 80 \cdot 1.5 = 120$$

したがって、利息は $120$ です。

支払総額を求めるには、元本を足します。

$$A = 2000 + 120 = 2120$$

つまり、$18$ か月後の単利は $120$、合計金額は $2120$ です。

単利でよくあるミス

パーセントのまま使ってしまう

$I = Prt$ では、利率は小数でなければなりません。$0.04$ の代わりに $4$ を使うと、答えが $100$ 倍大きくなってしまいます。

時間の単位を混ぜてしまう

利率が年単位なら、時間も年でそろえる必要があります。利率が月単位なら、時間も月で表します。単位は一致していなければなりません。

複利の問題にこの公式を使ってしまう

単利は元の元本だけを使います。複利は残高が変化していくので、$I = Prt$ ではその状況を表せません。

単利の公式を使う場面

単利は、金融の入門問題、一部の短期ローン、そして契約で利息が単利だと明記されている場合に出てきます。

実際の多くの預金口座やローンでは、利息は複利で計算されます。したがって、$I = Prt$ を使う前に、思い込みではなく条件を確認しましょう。

設定の最終チェック

計算を終える前に、次を確認しましょう。

1. 利率は小数で書かれているか。
2. 利率と時間の単位はそろっているか。
3. 問題文に本当に単利と書かれているか。

これらがすべて「はい」なら、設定はたいてい正しいです。

似た問題に挑戦

$P = 750$、$r = 8\%$（年利）、$t = 9$ か月として、自分で解いてみましょう。まず利息を求め、そのあと合計金額を求めます。比較すると理解しやすいので、同じ条件で複利でも解いてみて、なぜ答えが変わるのかを確かめてみてください。