Z-score — Come si calcola

Uno z-score indica quanto un valore si discosta dalla media in unità di deviazione standard. Per questo è utile quando vuoi confrontare un punteggio con il resto di un gruppo, non solo leggere il numero grezzo da solo.

La formula di base è

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

dove $x$ è il valore, $\mu$ è la media e $\sigma$ è la deviazione standard.

Se $z$ è positivo, il valore è sopra la media. Se $z$ è negativo, il valore è sotto la media. Se $z = 0$, il valore è esattamente uguale alla media.

Come calcolare uno z-score

Usa questi passaggi:

1. Parti dal valore $x$.
2. Sottrai la media.
3. Dividi per la deviazione standard.

Questo è tutto ciò che fa il calcolo: trasforma una distanza grezza dalla media in una distanza standardizzata.

Cosa significa intuitivamente la formula

Il numeratore $x - \mu$ ti dice quanto il valore è lontano dal centro. Il denominatore $\sigma$ riscala quella distanza in base alla dispersione tipica dei dati.

Quindi uno z-score non dice solo "questo punteggio è 14 punti sopra la media". Dice anche se 14 punti sono uno scarto piccolo o grande per quello specifico insieme di dati.

Esempio svolto

Supponi che un punteggio in un test sia $84$, che la media della classe sia $70$ e che la deviazione standard sia $7$.

Inserisci questi numeri nella formula:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

Per prima cosa sottrai:

$$84 - 70 = 14$$

Poi dividi:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

Lo z-score è $2$. Questo significa che il punteggio è $2$ deviazioni standard sopra la media.

Un modo rapido per leggere la risposta

• $z = 1$ significa una deviazione standard sopra la media.
• $z = -1.5$ significa una deviazione standard e mezza sotto la media.
• Un valore assoluto più grande, come $|z| = 3$, significa che il valore è relativamente lontano dalla media.

Questa interpretazione funziona solo rispetto alla media e alla deviazione standard che hai usato. Se cambiano, cambia anche lo z-score.

Errori comuni

Un errore comune è dividere per la varianza invece che per la deviazione standard. Uno z-score usa la deviazione standard, non la varianza.

Un altro errore è ignorare il segno. Uno z-score di $-2$ non è uguale a $2$. Il primo è sotto la media, il secondo è sopra.

È anche facile mescolare dati di gruppi diversi. Un punteggio può avere uno z-score in una classe e uno z-score diverso in un'altra se cambiano la media o la deviazione standard.

Quando si usano gli z-score

Gli z-score sono utili quando vuoi confrontare valori su scale diverse, individuare osservazioni insolitamente alte o basse, oppure collegare dati grezzi a un modello di distribuzione normale.

Quest'ultimo uso richiede una condizione: convertire uno z-score in una probabilità ha più senso quando un modello normale è appropriato, oppure quando il problema ti dice esplicitamente di usarne uno.

Valori della popolazione vs. del campione

In molte formule di statistica, lo z-score viene scritto con i simboli della popolazione:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Se hai solo la media campionaria $\bar{x}$ e la deviazione standard campionaria $s$, spesso si standardizza con

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

Il passaggio di calcolo è lo stesso, ma l'interpretazione dipende dal fatto che quei valori descrivano un'intera popolazione oppure solo un campione.

Prova una tua versione

Scegli un valore qualsiasi, una media e una deviazione standard, poi calcola lo z-score e spiega il risultato a parole. Se vuoi un caso successivo utile, risolvi un problema simile in cui lo z-score risulta negativo e controlla che la tua interpretazione sia ancora coerente con il segno.