Viscosité — définition, formule et exemple

La viscosité mesure à quel point un fluide résiste à l’écoulement ou au glissement d’une couche sur une autre. Pour un fluide newtonien en écoulement de cisaillement simple, la relation standard est

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

où $\tau$ est la contrainte de cisaillement, $\mu$ la viscosité dynamique et $\frac{du}{dy}$ le gradient de vitesse perpendiculaire à l’écoulement.

L’idée intuitive est simple : l’eau s’écoule facilement parce que sa viscosité est faible, tandis que le miel s’écoule lentement parce que sa viscosité est élevée. La formule exige certaines conditions, mais l’idée centrale reste la même : une viscosité plus grande signifie une plus forte résistance à la déformation.

Ce que signifie la viscosité

La viscosité décrit le frottement interne dans un fluide. Si une couche de fluide essaie de glisser par rapport à une autre, la viscosité est la propriété qui s’oppose à ce mouvement.

C’est pourquoi la viscosité est importante aussi bien dans les liquides que dans les gaz. Elle influence la facilité avec laquelle un fluide s’écoule, la traînée qui se développe près d’une surface et la quantité d’énergie perdue dans un écoulement réel.

Quand la formule de la viscosité s’applique

Pour un fluide newtonien en écoulement de cisaillement simple, la contrainte de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse :

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

On appelle souvent cela la loi de Newton de la viscosité. Cela ne signifie pas que tous les fluides se comportent ainsi dans toutes les situations. Cela signifie que si le fluide est newtonien, alors le rapport entre la contrainte de cisaillement et le taux de cisaillement reste constant, et cette constante est $\mu$.

Dans cette équation :

• $\tau$ est la contrainte de cisaillement
• $\mu$ est la viscosité dynamique
• $\frac{du}{dy}$ est le taux de variation de la vitesse d’une couche à l’autre

L’unité SI de la viscosité dynamique est $\mathrm{Pa \cdot s}$, ce qui équivaut à $\mathrm{N \cdot s/m^2}$ ou $\mathrm{kg/(m \cdot s)}$.

Viscosité dynamique vs viscosité cinématique

La viscosité dynamique $\mu$ indique quelle contrainte de cisaillement est nécessaire pour un taux de cisaillement donné. La viscosité cinématique $\nu$ tient aussi compte de la masse volumique :

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

où $\rho$ est la masse volumique du fluide.

C’est important, car deux fluides peuvent avoir la même viscosité dynamique mais des masses volumiques différentes ; leurs viscosités cinématiques ne sont donc pas nécessairement les mêmes. La viscosité cinématique est particulièrement courante dans les tables d’écoulement des fluides et dans les calculs du nombre de Reynolds.

Exemple résolu : contrainte de cisaillement entre deux plaques

Supposons qu’un fluide newtonien remplisse l’espace entre deux grandes plaques parallèles. La plaque du bas est fixe, la plaque du haut se déplace à $0.30\ \mathrm{m/s}$, et l’écart entre les plaques est de $0.005\ \mathrm{m}$. Prenons pour viscosité dynamique du fluide $\mu = 0.80\ \mathrm{Pa \cdot s}$.

Si l’on suppose un profil de vitesse presque linéaire dans l’entrefer, alors

$$\frac{du}{dy} = \frac{0.30}{0.005} = 60\ \mathrm{s^{-1}}$$

Utilisons maintenant la relation de viscosité :

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$ $$\tau = (0.80)(60)$$ $$\tau = 48\ \mathrm{Pa}$$

Le fluide a donc besoin d’une contrainte de cisaillement de $48\ \mathrm{Pa}$ pour maintenir ce mouvement. Si l’on utilisait le même dispositif avec une viscosité plus grande, la contrainte de cisaillement requise augmenterait dans la même proportion.

Cet exemple montre clairement le rôle de la viscosité : elle relie la vitesse de glissement des couches voisines à la contrainte de cisaillement nécessaire pour les maintenir en mouvement.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de viscosité

Traiter la viscosité comme une formule universelle

L’équation $\tau = \mu \frac{du}{dy}$ est un modèle pour les fluides newtoniens. De nombreux fluides réels, comme le sang, la peinture ou le dentifrice, peuvent avoir un comportement non newtonien ; la relation entre contrainte et taux de cisaillement n’est donc pas toujours aussi simple.

Confondre viscosité dynamique et viscosité cinématique

$\mu$ et $\nu$ sont des grandeurs différentes avec des unités différentes. Si la masse volumique intervient dans le problème, assurez-vous d’utiliser la bonne.

Oublier la condition derrière la formule utilisée

La formule standard du cisaillement est la plus simple à appliquer en écoulement de cisaillement simple, par exemple pour un fluide entre des couches ou des plaques proches en mouvement. Dans des écoulements plus complexes, l’idée de base reste la même, mais les mathématiques peuvent être plus élaborées.

Supposer qu’une viscosité élevée signifie toujours une vitesse faible

Une viscosité plus élevée rend souvent l’écoulement plus difficile, mais la vitesse dépend aussi de la différence de pression, de la géométrie, de la gravité et des conditions aux limites. La viscosité fait partie du tableau, mais n’en est pas l’unique élément.

Où la viscosité est utilisée en physique et en ingénierie

La viscosité intervient dans l’écoulement en conduite, la lubrification, l’écoulement sanguin, l’aérodynamique, la fabrication et la géophysique. Les ingénieurs l’utilisent pour estimer la traînée, la perte de charge, le régime d’écoulement et le comportement d’un fluide près des surfaces.

Elle aide aussi à expliquer des observations du quotidien, par exemple pourquoi l’huile moteur se comporte différemment selon la température et pourquoi le sirop s’étale beaucoup plus lentement que l’eau.

Essayez un problème similaire

Reprenez le même exemple avec les plaques, mais doublez l’écart tout en gardant la même vitesse de la plaque supérieure et le même fluide. Prévoyez ce qui arrive à $\frac{du}{dy}$ et à la contrainte de cisaillement avant de faire le calcul, puis vérifiez si les deux grandeurs sont divisées par deux.