粘性（粘度）— 定義、公式、例題

粘性は、流体が流れたり、ある層が別の層の上をすべったりすることにどれだけ強く抵抗するかを表します。ニュートン流体の単純せん断流れでは、標準的な関係式は

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

です。ここで $\tau$ はせん断応力、$\mu$ は粘性係数、$\frac{du}{dy}$ は流れに垂直な方向の速度勾配です。

直感的には、水は粘性が小さいのでさらさらと注げますが、はちみつは粘性が大きいためゆっくり流れます。この公式には適用条件がありますが、中心となる考え方は同じです。つまり、粘性が大きいほど変形への抵抗も大きくなります。

粘性の意味

粘性は、流体内部の摩擦を表します。流体のある層が別の層の横を通って動こうとするとき、そのすべり運動に抵抗する性質が粘性です。

そのため、粘性は液体でも気体でも重要です。流体がどれだけ流れやすいか、表面近くでどれだけ抗力が生じるか、実際の流れでどれだけエネルギーが失われるかに影響します。

粘性の公式が成り立つとき

ニュートン流体の単純せん断流れでは、せん断応力は速度勾配に比例します。

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

これはしばしばニュートンの粘性法則と呼ばれます。すべての流体が、あらゆる状況でこのように振る舞うという意味ではありません。流体がニュートン流体であるなら、せん断応力とせん断速度の比が一定であり、その定数が $\mu$ であるということです。

この式で、

• $\tau$ はせん断応力
• $\mu$ は粘性係数
• $\frac{du}{dy}$ は、ある層から次の層へ速度がどれだけ変化するかを表す割合

です。

粘性係数の SI 単位は $\mathrm{Pa \cdot s}$ で、これは $\mathrm{N \cdot s/m^2}$ または $\mathrm{kg/(m \cdot s)}$ と等価です。

粘性係数と動粘性係数の違い

粘性係数 $\mu$ は、あるせん断速度を生じさせるのにどれだけのせん断応力が必要かを表します。動粘性係数 $\nu$ は、これに密度も考慮した量です。

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

ここで $\rho$ は流体の密度です。

これは重要です。2つの流体が同じ粘性係数をもっていても、密度が異なれば動粘性係数は同じとは限りません。動粘性係数は、流れの表やレイノルズ数の計算で特によく使われます。

例題：2枚の平板の間のせん断応力

ニュートン流体が、2枚の大きな平行平板のすき間を満たしているとします。下の平板は固定され、上の平板は $0.30\ \mathrm{m/s}$ で動いています。平板間のすき間は $0.005\ \mathrm{m}$ です。流体の粘性係数を $\mu = 0.80\ \mathrm{Pa \cdot s}$ とします。

すき間全体で速度分布がほぼ直線的だと仮定すると、

$$\frac{du}{dy} = \frac{0.30}{0.005} = 60\ \mathrm{s^{-1}}$$

となります。

次に、粘性の関係式を使います。

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$ $$\tau = (0.80)(60)$$ $$\tau = 48\ \mathrm{Pa}$$

したがって、この運動を保つには流体に $48\ \mathrm{Pa}$ のせん断応力が必要です。同じ設定で粘性がもっと大きければ、必要なせん断応力も同じ割合で大きくなります。

この例から、粘性の役割がはっきりわかります。つまり、隣り合う層がどれだけ速くすべるかと、それを保つのにどれだけのせん断応力が必要かを結びつける量なのです。

粘性の問題でよくある間違い

粘性を1つの万能な公式だと考える

式 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$ は、ニュートン流体のためのモデルです。血液、塗料、歯みがき粉のような実在の流体の多くは非ニュートン流体として振る舞うことがあり、応力とせん断速度の関係はいつもこれほど単純とは限りません。

粘性係数と動粘性係数を混同する

$\mu$ と $\nu$ は異なる量で、単位も異なります。問題で密度が関係するなら、正しい方を使っているか確認しましょう。

公式の背後にある条件を忘れる

標準的なせん断の公式は、近接した移動層や平板間の流れのような単純せん断流れで最も使いやすいです。より複雑な流れでも基本的な考え方は同じですが、数学的な扱いはより複雑になることがあります。

粘性が高いと必ず速度が遅いと思い込む

粘性が高いと流れにくくなることは多いですが、速度は圧力差、形状、重力、境界条件にも依存します。粘性は全体像の一部であって、すべてではありません。

物理学や工学で粘性が使われる場面

粘性は、管内流れ、潤滑、血流、空気力学、製造、地球物理学で重要です。技術者は、抗力、圧力損失、流れの状態、流体が表面近くでどう振る舞うかを見積もるときに粘性を使います。

また、モーターオイルが温度によって振る舞いを変える理由や、シロップが水よりずっとゆっくり広がる理由など、日常の現象を説明するのにも役立ちます。

類題に挑戦してみよう

同じ平板の例で、上の平板の速さと流体はそのままにして、すき間だけを2倍にしてみましょう。計算する前に $\frac{du}{dy}$ とせん断応力がどう変わるか予想し、その後で両方が半分になるか確かめてみてください。