Loi de Hooke — F = kx, constante de raideur et exemples

La loi de Hooke explique comment la force exercée par un ressort varie avec le déplacement par rapport à l’équilibre. Pour un ressort qui reste dans son domaine élastique linéaire, la valeur de la force est

$$F = kx$$

Si l’on tient compte de la direction le long d’un axe, la forme avec force de rappel est

$$F_x = -kx$$

Ici, $k$ est la constante de raideur du ressort et $x$ est l’allongement ou la compression mesuré à partir de l’équilibre. Le signe moins signifie que la force du ressort est dirigée vers l’équilibre, donc dans le sens opposé au déplacement.

Ce que signifie la constante de raideur

$k$ mesure la raideur. Plus $k$ est grand, plus il faut de force pour étirer ou comprimer le ressort d’une même quantité.

Son unité SI est $\mathrm{N/m}$. Par exemple, si deux ressorts sont tous deux étirés de $0.02\ \mathrm{m}$, un ressort avec $k = 200\ \mathrm{N/m}$ nécessite quatre fois plus de force qu’un ressort avec $k = 50\ \mathrm{N/m}$.

Quand $F = kx$ est valable

La loi de Hooke n’est pas une règle valable pour tous les ressorts dans toutes les situations. Elle ne fonctionne que tant que le matériau reste dans son domaine élastique approximativement linéaire.

En physique introductive, cela signifie généralement que le ressort retrouve sa forme initiale lorsqu’on le relâche et que le graphe force-déplacement reste proche d’une droite. Si le ressort est trop étiré ou déformé de façon permanente, $F = kx$ n’est plus un modèle fiable.

Exemple résolu : un ressort étiré de 3 cm

Un ressort a

$$k = 200\ \mathrm{N/m}$$

et il est étiré de

$$x = 0.03\ \mathrm{m}$$

Utilisons d’abord la forme en valeur :

$$F = kx = 200 \times 0.03 = 6\ \mathrm{N}$$

La force exercée par le ressort a donc une valeur de $6\ \mathrm{N}$.

Si vous choisissez le sens de l’étirement comme sens positif, alors la composante de la force est

$$F_x = -6\ \mathrm{N}$$

car le ressort tire vers l’équilibre.

Cet exemple montre les deux points que les élèves confondent souvent : $k$ fixe la raideur, et le signe moins donne le sens de la force de rappel.

Une vérification intuitive rapide

La loi de Hooke est linéaire. Si le déplacement double, la force double aussi, tant que le ressort reste dans son domaine élastique linéaire.

Cela vous donne une vérification rapide de votre réponse. Si $0.03\ \mathrm{m}$ donne $6\ \mathrm{N}$, alors $0.06\ \mathrm{m}$ doit donner $12\ \mathrm{N}$ dans les mêmes conditions.

Erreurs fréquentes avec la loi de Hooke

Utiliser la longueur totale au lieu du déplacement

$x$ est la variation de longueur par rapport à l’équilibre, pas la longueur totale du ressort.

Confondre valeur de la force et force signée

$F = kx$ est souvent utilisé pour la valeur de la force. Si vous tenez compte de la direction en une dimension, écrivez $F_x = -kx$.

Utiliser des centimètres avec une constante de raideur en N/m

Si $k$ est en $\mathrm{N/m}$, convertissez le déplacement en mètres avant de calculer.

Appliquer la loi après avoir trop étiré le ressort

Une fois que le ressort sort de son domaine élastique linéaire, la force peut cesser d’être proportionnelle au déplacement.

Où la loi de Hooke est utilisée

La loi de Hooke apparaît dans les dynamomètres à ressort, les capteurs de force, les systèmes de suspension, les modèles vibratoires et l’introduction au mouvement harmonique simple. Elle sert aussi de premier modèle du comportement élastique dans de nombreux problèmes de petites déformations.

La raison principale de son importance est pratique : une fois que la force est proportionnelle au déplacement, beaucoup de systèmes mécaniques deviennent bien plus faciles à analyser.

Essayez un problème similaire avec un ressort

Gardez le même ressort, $k = 200\ \mathrm{N/m}$, mais remplacez l’étirement par $0.05\ \mathrm{m}$. Calculez la nouvelle valeur de la force, puis déterminez sa direction à partir de la convention de signe que vous avez choisie.

Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez ce résultat avec celui d’un ressort dont la valeur de $k$ est deux fois plus petite. C’est la façon la plus rapide de voir ce que contrôle réellement la constante de raideur.