Hookesches Gesetz — F = kx, Federkonstante & Beispiele

Das Hookesche Gesetz erklärt, wie sich die Federkraft mit der Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ändert. Für eine Feder, die in ihrem linearen elastischen Bereich bleibt, ist der Betrag der Kraft

$$F = kx$$

Wenn du die Richtung entlang einer Achse berücksichtigst, lautet die Form der Rückstellkraft

$$F_x = -kx$$

Hier ist $k$ die Federkonstante und $x$ die Dehnung oder Stauchung, gemessen von der Gleichgewichtslage aus. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Federkraft zurück zur Gleichgewichtslage zeigt, also entgegengesetzt zur Auslenkung.

Was die Federkonstante bedeutet

$k$ ist ein Maß für die Steifigkeit. Ein größeres $k$ bedeutet, dass du mehr Kraft brauchst, um die Feder um denselben Betrag zu dehnen oder zu stauchen.

Die SI-Einheit ist $\mathrm{N/m}$. Wenn zum Beispiel zwei Federn jeweils um $0.02\ \mathrm{m}$ gedehnt werden, braucht eine Feder mit $k = 200\ \mathrm{N/m}$ viermal so viel Kraft wie eine Feder mit $k = 50\ \mathrm{N/m}$.

Wann $F = kx$ gilt

Das Hookesche Gesetz ist keine Regel für jede Feder in jeder Situation. Es gilt nur, solange das Material in seinem näherungsweise linearen elastischen Bereich bleibt.

In der Einführungsphysik bedeutet das meist, dass die Feder nach dem Loslassen in ihre ursprüngliche Form zurückkehrt und das Kraft-Auslenkungs-Diagramm noch annähernd eine Gerade ist. Wenn die Feder überdehnt oder dauerhaft verformt wird, ist $F = kx$ kein zuverlässiges Modell mehr.

Durchgerechnetes Beispiel: eine Feder wird um 3 cm gedehnt

Eine Feder hat

$$k = 200\ \mathrm{N/m}$$

und sie wird um

$$x = 0.03\ \mathrm{m}$$

gedehnt.

Verwende zuerst die Betragsform:

$$F = kx = 200 \times 0.03 = 6\ \mathrm{N}$$

Die Federkraft hat also den Betrag $6\ \mathrm{N}$.

Wenn du die Dehnungsrichtung als positiv wählst, dann ist die Kraftkomponente

$$F_x = -6\ \mathrm{N}$$

weil die Feder zurück zur Gleichgewichtslage zieht.

Dieses Beispiel zeigt die zwei Punkte, die Lernende oft verwechseln: $k$ bestimmt die Steifigkeit, und das Minuszeichen gibt die Rückstellrichtung an.

Ein kurzer Plausibilitätscheck

Das Hookesche Gesetz ist linear. Wenn sich die Auslenkung verdoppelt, verdoppelt sich auch die Kraft, solange die Feder noch im linearen elastischen Bereich ist.

Das gibt dir eine schnelle Kontrolle für dein Ergebnis. Wenn $0.03\ \mathrm{m}$ zu $6\ \mathrm{N}$ führt, dann sollten $0.06\ \mathrm{m}$ unter denselben Bedingungen zu $12\ \mathrm{N}$ führen.

Häufige Fehler beim Hookeschen Gesetz

Die Gesamtlänge statt der Auslenkung verwenden

$x$ ist die Längenänderung gegenüber der Gleichgewichtslage, nicht die gesamte Länge der Feder.

Kraftbetrag und vorzeichenbehaftete Kraft verwechseln

$F = kx$ wird häufig für den Betrag verwendet. Wenn du die Richtung in einer Dimension berücksichtigst, schreibe $F_x = -kx$.

Zentimeter mit einer Federkonstante in N/m verwenden

Wenn $k$ in $\mathrm{N/m}$ angegeben ist, wandle die Auslenkung vor der Rechnung in Meter um.

Das Gesetz anwenden, nachdem die Feder überdehnt wurde

Sobald die Feder außerhalb ihres linearen elastischen Bereichs ist, ist die Kraft möglicherweise nicht mehr proportional zur Auslenkung.

Wo das Hookesche Gesetz verwendet wird

Das Hookesche Gesetz taucht bei Federwaagen, Kraftsensoren, Federungssystemen, Schwingungsmodellen und in der einführenden harmonischen Schwingung auf. Es hilft auch als erstes Modell für elastisches Verhalten bei vielen Problemen mit kleinen Verformungen.

Der wichtigste Grund für seine Bedeutung ist praktisch: Sobald die Kraft proportional zur Auslenkung ist, lassen sich viele mechanische Systeme viel einfacher analysieren.

Probiere eine ähnliche Federaufgabe

Behalte dieselbe Feder mit $k = 200\ \mathrm{N/m}$, aber ändere die Dehnung auf $0.05\ \mathrm{m}$. Berechne den neuen Kraftbetrag und bestimme dann die Richtung anhand der von dir gewählten Vorzeichenkonvention.

Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, vergleiche dieses Ergebnis mit einer Feder, deren $k$ nur halb so groß ist. Das ist der schnellste Weg zu sehen, was die Federkonstante wirklich bestimmt.