Prawo Hooke'a — F = kx, stała sprężystości i przykłady

Prawo Hooke’a wyjaśnia, jak siła sprężyny zmienia się wraz z wychyleniem od położenia równowagi. Dla sprężyny, która pozostaje w swoim liniowym zakresie sprężystym, wartość siły wynosi

$$F = kx$$

Jeśli uwzględniasz kierunek wzdłuż jednej osi, postać siły przywracającej ma postać

$$F_x = -kx$$

Tutaj $k$ to stała sprężystości, a $x$ to wydłużenie lub ściśnięcie mierzone od położenia równowagi. Znak minus oznacza, że siła sprężyny jest skierowana z powrotem ku równowadze, przeciwnie do wychylenia.

Co oznacza stała sprężystości

$k$ mierzy sztywność. Większe $k$ oznacza, że do rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężyny o tę samą wartość potrzeba większej siły.

Jej jednostką w układzie SI jest $\mathrm{N/m}$. Na przykład, jeśli dwie sprężyny są rozciągnięte o $0.02\ \mathrm{m}$, to sprężyna o $k = 200\ \mathrm{N/m}$ wymaga cztery razy większej siły niż sprężyna o $k = 50\ \mathrm{N/m}$.

Kiedy $F = kx$ jest poprawne

Prawo Hooke’a nie jest regułą dla każdej sprężyny w każdej sytuacji. Działa tylko wtedy, gdy materiał pozostaje w przybliżeniu w swoim liniowym zakresie sprężystym.

W fizyce na poziomie podstawowym zwykle oznacza to, że po zwolnieniu sprężyna wraca do swojego pierwotnego kształtu, a wykres siły od wychylenia nadal jest zbliżony do linii prostej. Jeśli sprężyna zostanie nadmiernie rozciągnięta lub trwale odkształcona, $F = kx$ przestaje być wiarygodnym modelem.

Przykład obliczeniowy: sprężyna rozciągnięta o 3 cm

Sprężyna ma

$$k = 200\ \mathrm{N/m}$$

i jest rozciągnięta o

$$x = 0.03\ \mathrm{m}$$

Najpierw użyj postaci dla wartości siły:

$$F = kx = 200 \times 0.03 = 6\ \mathrm{N}$$

Zatem wartość siły sprężyny wynosi $6\ \mathrm{N}$.

Jeśli przyjmiesz kierunek rozciągania jako dodatni, to składowa siły wynosi

$$F_x = -6\ \mathrm{N}$$

ponieważ sprężyna ciągnie z powrotem ku równowadze.

Ten przykład pokazuje dwie rzeczy, które uczniowie najczęściej mylą: $k$ określa sztywność, a znak minus wyznacza kierunek siły przywracającej.

Szybkie sprawdzenie intuicyjne

Prawo Hooke’a jest liniowe. Jeśli wychylenie się podwaja, siła też się podwaja, o ile sprężyna nadal pozostaje w liniowym zakresie sprężystym.

To daje szybki sposób sprawdzenia odpowiedzi. Jeśli dla $0.03\ \mathrm{m}$ otrzymujesz $6\ \mathrm{N}$, to dla $0.06\ \mathrm{m}$ powinno wyjść $12\ \mathrm{N}$ w tych samych warunkach.

Typowe błędy w prawie Hooke’a

Używanie całkowitej długości zamiast wychylenia

$x$ to zmiana długości względem położenia równowagi, a nie pełna długość sprężyny.

Mylenie wartości siły z siłą ze znakiem

$F = kx$ jest zwykle używane dla wartości siły. Jeśli uwzględniasz kierunek w jednym wymiarze, zapisz $F_x = -kx$.

Używanie centymetrów przy stałej sprężystości w N/m

Jeśli $k$ jest podane w $\mathrm{N/m}$, przed obliczeniami zamień wychylenie na metry.

Stosowanie prawa po nadmiernym rozciągnięciu sprężyny

Gdy sprężyna wyjdzie poza swój liniowy zakres sprężysty, siła może przestać być proporcjonalna do wychylenia.

Gdzie stosuje się prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a pojawia się w wagach sprężynowych, czujnikach siły, układach zawieszenia, modelach drgań i we wstępie do ruchu harmonicznego prostego. Pomaga też jako pierwszy model zachowania sprężystego w wielu problemach z małymi odkształceniami.

Najważniejszy powód, dla którego jest istotne, jest praktyczny: gdy siła jest proporcjonalna do wychylenia, wiele układów mechanicznych staje się znacznie łatwiejszych do analizy.

Spróbuj podobnego zadania ze sprężyną

Zachowaj tę samą sprężynę, $k = 200\ \mathrm{N/m}$, ale zmień rozciągnięcie na $0.05\ \mathrm{m}$. Oblicz nową wartość siły, a potem określ jej kierunek zgodnie z przyjętą konwencją znaków.

Jeśli chcesz pójść o krok dalej, porównaj ten wynik ze sprężyną, która ma o połowę mniejsze $k$. To najszybszy sposób, by zobaczyć, co naprawdę kontroluje stała sprężystości.