Νόμος του Hooke — F = kx, σταθερά ελατηρίου και παραδείγματα

Ο νόμος του Hooke εξηγεί πώς μεταβάλλεται η δύναμη ενός ελατηρίου με τη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας. Για ένα ελατήριο που παραμένει στη γραμμική ελαστική περιοχή του, το μέτρο της δύναμης είναι

$$F = kx$$

Αν παρακολουθείς την κατεύθυνση κατά μήκος ενός άξονα, η μορφή της δύναμης επαναφοράς είναι

$$F_x = -kx$$

Εδώ, το $k$ είναι η σταθερά του ελατηρίου και το $x$ είναι η επιμήκυνση ή η συμπίεση μετρημένη από τη θέση ισορροπίας. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η δύναμη του ελατηρίου δείχνει πίσω προς τη θέση ισορροπίας, αντίθετα από τη μετατόπιση.

Τι σημαίνει η σταθερά του ελατηρίου

Το $k$ μετρά τη δυσκαμψία. Μεγαλύτερο $k$ σημαίνει ότι χρειάζεσαι περισσότερη δύναμη για να τεντώσεις ή να συμπιέσεις το ελατήριο κατά την ίδια απόσταση.

Η μονάδα SI είναι $\mathrm{N/m}$. Για παράδειγμα, αν δύο ελατήρια τεντωθούν και τα δύο κατά $0.02\ \mathrm{m}$, ένα ελατήριο με $k = 200\ \mathrm{N/m}$ χρειάζεται τετραπλάσια δύναμη από ένα ελατήριο με $k = 50\ \mathrm{N/m}$.

Πότε ισχύει το $F = kx$

Ο νόμος του Hooke δεν είναι κανόνας για κάθε ελατήριο σε κάθε περίπτωση. Ισχύει μόνο όσο το υλικό παραμένει περίπου στη γραμμική ελαστική περιοχή του.

Στην εισαγωγική φυσική, αυτό συνήθως σημαίνει ότι το ελατήριο επιστρέφει στο αρχικό του σχήμα όταν το αφήνεις και ότι το γράφημα δύναμης-μετατόπισης παραμένει κοντά σε ευθεία γραμμή. Αν το ελατήριο τεντωθεί υπερβολικά ή παραμορφωθεί μόνιμα, το $F = kx$ δεν είναι πλέον αξιόπιστο μοντέλο.

Λυμένο παράδειγμα: ελατήριο τεντωμένο κατά 3 cm

Ένα ελατήριο έχει

$$k = 200\ \mathrm{N/m}$$

και τεντώνεται κατά

$$x = 0.03\ \mathrm{m}$$

Χρησιμοποίησε πρώτα τη μορφή για το μέτρο:

$$F = kx = 200 \times 0.03 = 6\ \mathrm{N}$$

Άρα η δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο $6\ \mathrm{N}$.

Αν επιλέξεις ως θετική την κατεύθυνση της επιμήκυνσης, τότε η συνιστώσα της δύναμης είναι

$$F_x = -6\ \mathrm{N}$$

επειδή το ελατήριο τραβά πίσω προς τη θέση ισορροπίας.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει τα δύο σημεία που οι μαθητές συνήθως μπερδεύουν: το $k$ καθορίζει τη δυσκαμψία, και το αρνητικό πρόσημο δίνει την κατεύθυνση επαναφοράς.

Ένας γρήγορος έλεγχος διαίσθησης

Ο νόμος του Hooke είναι γραμμικός. Αν η μετατόπιση διπλασιαστεί, η δύναμη διπλασιάζεται, αρκεί το ελατήριο να παραμένει ακόμη στη γραμμική ελαστική περιοχή.

Αυτό σου δίνει έναν γρήγορο έλεγχο της απάντησής σου. Αν $0.03\ \mathrm{m}$ δίνει $6\ \mathrm{N}$, τότε $0.06\ \mathrm{m}$ πρέπει να δίνει $12\ \mathrm{N}$ στις ίδιες συνθήκες.

Συνηθισμένα λάθη στον νόμο του Hooke

Χρήση του συνολικού μήκους αντί της μετατόπισης

Το $x$ είναι η μεταβολή του μήκους από τη θέση ισορροπίας, όχι το συνολικό μήκος του ελατηρίου.

Σύγχυση ανάμεσα στο μέτρο της δύναμης και την προσημασμένη δύναμη

Το $F = kx$ χρησιμοποιείται συνήθως για το μέτρο. Αν παρακολουθείς την κατεύθυνση σε μία διάσταση, γράψε $F_x = -kx$.

Χρήση εκατοστών με σταθερά ελατηρίου σε N/m

Αν το $k$ είναι σε $\mathrm{N/m}$, μετέτρεψε τη μετατόπιση σε μέτρα πριν από τον υπολογισμό.

Εφαρμογή του νόμου αφού το ελατήριο έχει τεντωθεί υπερβολικά

Μόλις το ελατήριο βγει έξω από τη γραμμική ελαστική περιοχή του, η δύναμη μπορεί να πάψει να είναι ανάλογη της μετατόπισης.

Πού χρησιμοποιείται ο νόμος του Hooke

Ο νόμος του Hooke εμφανίζεται σε δυναμόμετρα ελατηρίου, αισθητήρες δύναμης, συστήματα ανάρτησης, μοντέλα ταλαντώσεων και στην εισαγωγική απλή αρμονική ταλάντωση. Βοηθά επίσης ως πρώτο μοντέλο για την ελαστική συμπεριφορά σε πολλά προβλήματα μικρών παραμορφώσεων.

Ο βασικός λόγος που έχει σημασία είναι πρακτικός: μόλις η δύναμη είναι ανάλογη της μετατόπισης, πολλά μηχανικά συστήματα γίνονται πολύ πιο εύκολα στην ανάλυση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με ελατήριο

Κράτησε το ίδιο ελατήριο, $k = 200\ \mathrm{N/m}$, αλλά άλλαξε την επιμήκυνση σε $0.05\ \mathrm{m}$. Υπολόγισε το νέο μέτρο της δύναμης και μετά αποφάσισε την κατεύθυνσή της από τη σύμβαση προσήμου που επέλεξες.

Αν θέλεις ένα ακόμη βήμα, σύγκρινε αυτό το αποτέλεσμα με ένα ελατήριο που έχει τη μισή τιμή του $k$. Αυτός είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να δεις τι ακριβώς ελέγχει η σταθερά του ελατηρίου.