Formule de flèche d’une poutre

Une formule de flèche d’une poutre indique de combien une poutre se déforme sous charge. Si vous avez cherché la formule de flèche d’une poutre, le point essentiel est le suivant : il n’existe pas une formule unique pour toutes les poutres. L’expression correcte dépend des conditions d’appui, du type de charge et de la rigidité en flexion $E I$.

L’un des cas les plus courants est celui d’une poutre en porte-à-faux avec une charge ponctuelle à l’extrémité libre :

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Cette formule n’est utile que si ce cas précis de poutre et les hypothèses usuelles de petites déformations et d’élasticité linéaire sont raisonnables.

De quoi dépend la flèche d’une poutre

L’idée physique est simple. Les charges créent des moments fléchissants, et la poutre résiste à cette flexion grâce à $E I$.

• $E$ est le module de Young, donc il indique la rigidité propre du matériau.
• $I$ est le moment quadratique de la section, donc il indique comment la section résiste à la flexion autour d’un axe donné.
• $E I$ s’appelle la rigidité en flexion.

Pour une poutre d’Euler-Bernoulli avec de faibles pentes, la courbure est reliée au moment fléchissant par

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

à la convention de signe près. C’est pourquoi les formules de flèche des poutres suivent toutes le même schéma : des moments plus grands produisent plus de flexion, tandis qu’un $E I$ plus grand la réduit.

Une formule courante de flèche : porte-à-faux avec charge en extrémité

Pour une poutre en porte-à-faux de longueur $L$ avec une charge ponctuelle $P$ à l’extrémité libre, la flèche maximale se produit au bout libre et vaut

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Ici,

• $P$ est la charge appliquée
• $L$ est la longueur de la poutre
• $E$ est le module de Young
• $I$ est le moment quadratique de la section

Utilisez cette formule seulement si les conditions suivantes correspondent au problème :

• la poutre est encastrée à une extrémité et libre à l’autre
• la charge agit à l’extrémité libre
• le matériau reste dans le domaine élastique linéaire
• les flèches et les pentes sont assez faibles pour que la théorie des poutres soit une bonne approximation
• la poutre est assez élancée pour que la théorie d’Euler-Bernoulli soit raisonnable
• la déformation par cisaillement est négligée

Le terme en $L^3$ est celui qu’il faut remarquer. Si tout le reste reste identique et que la longueur double, la flèche en bout devient $2^3 = 8$ fois plus grande.

Exemple numérique détaillé

Supposons qu’une poutre en porte-à-faux ait

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Utilisez la formule du porte-à-faux chargé en bout :

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Remplacez les valeurs en gardant les unités SI partout :

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Comme $(1.5)^3 = 3.375$, cela devient

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Donc la flèche en bout vaut

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

C’est très faible par rapport à une portée de $1.5\ \mathrm{m}$, donc l’hypothèse des petites déformations est au moins plausible dans cet exemple.

Erreurs fréquentes avec les formules de flèche

Considérer une formule comme universelle

La formule du porte-à-faux chargé en bout ne s’applique pas à une poutre simplement appuyée, à une charge uniformément répartie ni à une poutre avec d’autres conditions d’appui. L’expression correcte change selon la configuration.

Confondre $I$

Ici, $I$ désigne le moment quadratique de la section. Ce n’est pas le courant électrique, et ce n’est pas non plus le moment d’inertie de masse.

Négliger les unités

Les formules de poutres sont très sensibles aux unités, car $I$ a souvent pour unités $\mathrm{m^4}$ ou $\mathrm{mm^4}$. Une incohérence d’unités peut modifier la réponse d’un facteur de plusieurs millions.

Utiliser la formule hors de ses hypothèses

Si les déformations sont grandes, si le matériau plastifie, si la poutre n’est pas élancée ou si $E I$ varie le long de la portée, une formule simple de manuel peut ne plus être fiable.

Quand utilise-t-on la formule de flèche d’une poutre ?

Les formules de flèche sont utilisées quand on a besoin de rigidité, et pas seulement de résistance. Une poutre peut être assez résistante pour ne pas rompre tout en se déformant trop pour l’usage prévu.

C’est important dans les structures, les composants de machines, les montages de laboratoire, les étagères et les éléments longs pour lesquels l’alignement ou l’aptitude au service compte. En pratique, les ingénieurs vérifient souvent à la fois la contrainte et la flèche, car ce sont deux limites de conception différentes.

Essayez un problème similaire

Gardez le même exemple de porte-à-faux et doublez seulement la longueur $L$. Prévoyez la nouvelle flèche en bout à partir du terme en $L^3$ avant de la calculer. Ensuite, essayez un autre type d’appui ou de chargement et comparez les parties de la formule qui changent.