Formel für die Balkendurchbiegung

Eine Formel für die Balkendurchbiegung gibt an, wie weit sich ein Balken unter Last durchbiegt. Wenn du nach der Formel für die Balkendurchbiegung gesucht hast, ist der wichtigste Punkt dieser: Es gibt keine einzelne Formel für jeden Balken. Der richtige Ausdruck hängt von der Lagerung, der Belastung und der Biegesteifigkeit $E I$ ab.

Einer der häufigsten Fälle ist ein Kragträger mit einer Einzelkraft am freien Ende:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Diese Formel ist nur dann nützlich, wenn genau dieser Balkenfall vorliegt und die üblichen Annahmen kleiner Durchbiegungen sowie linear-elastischen Verhaltens sinnvoll sind.

Wovon die Balkendurchbiegung abhängt

Die physikalische Idee ist einfach. Lasten erzeugen Biegemomente, und der Balken widersteht dieser Biegung durch $E I$.

• $E$ ist der Elastizitätsmodul und beschreibt, wie steif das Material selbst ist.
• $I$ ist das Flächenträgheitsmoment und beschreibt, wie der Querschnitt der Biegung um eine gewählte Achse widersteht.
• $E I$ wird Biegesteifigkeit genannt.

Für einen Euler-Bernoulli-Balken mit kleinen Neigungen gilt für die Krümmung in Abhängigkeit vom Biegemoment

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

bis auf die Vorzeichenkonvention. Deshalb folgen Formeln für die Balkendurchbiegung alle demselben Muster: Größere Momente führen zu stärkerer Biegung, während ein größeres $E I$ sie verringert.

Eine häufige Formel für die Balkendurchbiegung: Kragträger mit Endlast

Für einen Kragträger der Länge $L$ mit einer Einzelkraft $P$ am freien Ende tritt die maximale Durchbiegung an der Spitze auf und hat den Betrag

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Dabei gilt:

• $P$ ist die angreifende Last
• $L$ ist die Balkenlänge
• $E$ ist der Elastizitätsmodul
• $I$ ist das Flächenträgheitsmoment

Verwende diese Formel nur, wenn diese Bedingungen zum Problem passen:

• der Balken ist an einem Ende fest eingespannt und am anderen frei
• die Last greift am freien Ende an
• das Material bleibt im linear-elastischen Bereich
• Durchbiegungen und Neigungen sind klein genug, damit die Balkentheorie eine gute Näherung ist
• der Balken ist schlank genug, damit die Euler-Bernoulli-Theorie sinnvoll ist
• Schubverformung wird vernachlässigt

Der Term $L^3$ ist besonders wichtig. Wenn alles andere gleich bleibt und sich die Länge verdoppelt, wird die Durchbiegung an der Spitze $2^3 = 8$-mal so groß.

Durchgerechnetes Beispiel mit Zahlen

Angenommen, ein Kragträger hat

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Verwende die Formel für die Spitzenlast beim Kragträger:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Setze die Werte ein und verwende durchgehend SI-Einheiten:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Da $(1.5)^3 = 3.375$ ist, ergibt sich

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Die Durchbiegung an der Spitze beträgt also

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

Das ist im Vergleich zu einer Spannweite von $1.5\ \mathrm{m}$ sehr klein, daher ist die Annahme kleiner Durchbiegungen in diesem Beispiel zumindest plausibel.

Häufige Fehler bei Formeln für die Balkendurchbiegung

Eine Formel als universell behandeln

Die Formel für den Kragträger mit Spitzenlast gilt nicht für einen einfach gelagerten Balken, eine gleichmäßig verteilte Last oder einen Balken mit anderer Lagerung. Der richtige Ausdruck ändert sich mit dem Aufbau.

$I$ verwechseln

Hier bedeutet $I$ das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts. Es ist nicht die elektrische Stromstärke und auch nicht das Massenträgheitsmoment.

Einheiten ignorieren

Balkenformeln reagieren sehr empfindlich auf Einheiten, weil $I$ oft die Einheit $\mathrm{m^4}$ oder $\mathrm{mm^4}$ hat. Ein Einheitenfehler kann das Ergebnis um einen Faktor von Millionen verändern.

Die Formel außerhalb ihrer Annahmen verwenden

Wenn die Durchbiegungen groß sind, das Material plastisch wird, der Balken nicht schlank ist oder sich $E I$ entlang der Länge ändert, ist eine einfache Lehrbuchformel möglicherweise nicht mehr zuverlässig.

Wann die Formel für die Balkendurchbiegung verwendet wird

Formeln für die Balkendurchbiegung werden verwendet, wenn Steifigkeit wichtig ist und nicht nur Festigkeit. Ein Balken kann stark genug sein, um nicht zu brechen, und sich trotzdem für die Anwendung zu stark durchbiegen.

Das ist wichtig bei Tragwerken, Maschinenelementen, Laboraufbauten, Regalböden und langen Bauteilen, bei denen Ausrichtung oder Gebrauchstauglichkeit zählt. In der Praxis prüfen Ingenieurinnen und Ingenieure oft sowohl die Spannung als auch die Durchbiegung, weil das unterschiedliche Auslegungsgrenzen sind.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Behalte dasselbe Kragträger-Beispiel bei und verdopple nur die Länge $L$. Schätze die neue Durchbiegung an der Spitze anhand des Terms $L^3$ ab, bevor du sie berechnest. Probiere dann eine andere Lagerung oder eine andere Lastart aus und vergleiche, welche Teile der Formel sich ändern.