보 처짐 공식

보 처짐 공식은 하중을 받을 때 보가 얼마나 휘는지를 알려줍니다. 보 처짐 공식을 찾고 있었다면 핵심은 이것입니다. 모든 보에 적용되는 하나의 공식은 없다는 점입니다. 올바른 식은 지지 조건, 하중 형태, 그리고 굽힘 강성 $E I$에 따라 달라집니다.

가장 흔한 경우 중 하나는 자유단에 점하중이 작용하는 외팔보입니다.

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

이 공식은 해당 보 조건이 정확히 맞고, 일반적인 작은 처짐 및 선형 탄성 가정이 타당할 때만 유용합니다.

보 처짐이 무엇에 좌우되는가

물리적 개념은 간단합니다. 하중은 굽힘모멘트를 만들고, 보는 $E I$를 통해 그 굽힘에 저항합니다.

• $E$는 영률로, 재료 자체가 얼마나 강직한지를 나타냅니다.
• $I$는 단면 2차 모멘트로, 선택한 축에 대해 단면이 굽힘에 얼마나 저항하는지를 나타냅니다.
• $E I$는 굽힘 강성이라고 부릅니다.

작은 기울기를 갖는 오일러-베르누이 보에서는 곡률이 굽힘모멘트와 다음과 같이 관련됩니다.

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

부호 규약에 따라 부호는 달라질 수 있습니다. 그래서 모든 보 처짐 공식은 같은 패턴을 따릅니다. 모멘트가 클수록 더 많이 휘고, $E I$가 클수록 처짐은 줄어듭니다.

자주 쓰이는 보 처짐 공식: 끝단 하중을 받는 외팔보

길이 $L$인 외팔보의 자유단에 점하중 $P$가 작용하면, 최대 처짐은 자유단에서 발생하며 그 크기는 다음과 같습니다.

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

여기서

• $P$는 작용 하중
• $L$은 보의 길이
• $E$는 영률
• $I$는 단면 2차 모멘트

다음 조건이 문제와 일치할 때만 이 공식을 사용하세요.

• 보는 한쪽 끝이 고정되고 다른 쪽 끝은 자유단이다
• 하중은 자유단에 작용한다
• 재료는 선형 탄성 범위에 머문다
• 처짐과 기울기가 충분히 작아서 보 이론이 좋은 근사로 성립한다
• 보는 오일러-베르누이 이론이 타당할 만큼 충분히 세장하다
• 전단 변형은 무시한다

특히 주목할 부분은 $L^3$ 항입니다. 다른 조건이 모두 같고 길이만 두 배가 되면, 자유단 처짐은 $2^3 = 8$배가 됩니다.

수치를 넣은 예제

어떤 외팔보가 다음과 같다고 합시다.

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

외팔보 자유단 하중 공식을 사용합니다.

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

값을 대입하고 끝까지 SI 단위를 유지하면

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

$(1.5)^3 = 3.375$이므로 이는 다음과 같습니다.

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

따라서 자유단 처짐은

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

입니다. 이는 $1.5\ \mathrm{m}$ 경간에 비해 매우 작으므로, 이 예제에서는 작은 처짐 가정이 적어도 그럴듯하다고 볼 수 있습니다.

보 처짐 공식을 쓸 때 흔한 실수

하나의 공식을 만능 공식처럼 생각하기

외팔보 자유단 하중 공식은 단순지지보, 등분포하중, 또는 다른 지지 조건의 보에는 적용되지 않습니다. 올바른 식은 설정에 따라 달라집니다.

$I$를 혼동하기

여기서 $I$는 단면의 단면 2차 모멘트를 뜻합니다. 전류도 아니고, 질량관성모멘트도 아닙니다.

단위를 무시하기

보 공식은 단위에 매우 민감합니다. 특히 $I$의 단위는 $\mathrm{m^4}$ 또는 $\mathrm{mm^4}$인 경우가 많습니다. 단위를 잘못 맞추면 답이 수백만 배까지 달라질 수 있습니다.

가정이 성립하지 않는데 공식을 사용하기

처짐이 크거나, 재료가 항복하거나, 보가 세장하지 않거나, $E I$가 경간을 따라 변한다면, 단순한 교과서 공식은 더 이상 신뢰하기 어려울 수 있습니다.

보 처짐 공식을 언제 사용하는가

보 처짐 공식은 강도뿐 아니라 강성이 필요할 때 사용합니다. 보는 파손되지 않을 만큼 충분히 강할 수 있어도, 실제 용도에는 처짐이 너무 클 수 있습니다.

이 점은 구조물, 기계 부품, 실험 장치용 지그, 선반, 그리고 정렬이나 사용성이 중요한 긴 부재에서 중요합니다. 실제로 엔지니어는 응력과 처짐을 모두 검토하는 경우가 많습니다. 두 값은 서로 다른 설계 한계이기 때문입니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

같은 외팔보 예제에서 길이 $L$만 두 배로 바꿔 보세요. 계산하기 전에 $L^3$ 항을 보고 새로운 자유단 처짐을 먼저 예측해 보세요. 그런 다음 다른 지지 조건이나 하중 종류를 시도해 보고, 공식에서 어떤 부분이 바뀌는지 비교해 보세요.