Kiriş Sehim Formülü

Bir kiriş sehim formülü, bir kirişin yük altında ne kadar eğildiğini söyler. Kiriş sehim formülünü aradıysanız, temel nokta şudur: her kiriş için geçerli tek bir formül yoktur. Doğru ifade; mesnet koşuluna, yükleme düzenine ve eğilme rijitliği $E I$ değerine bağlıdır.

En yaygın durumlardan biri, serbest ucunda noktasal yük bulunan bir ankastre kiriştir:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Bu formül yalnızca tam olarak bu kiriş durumu ve alışılmış küçük-sehim, doğrusal elastik varsayımları makulse kullanışlıdır.

Kiriş sehimi nelere bağlıdır?

Fiziksel fikir basittir. Yükler eğilme momentleri oluşturur ve kiriş bu eğilmeye $E I$ ile karşı koyar.

• $E$, Young modülüdür; yani malzemenin kendisinin ne kadar rijit olduğunu gösterir.
• $I$, ikinci alan momentidir; yani kesitin seçilen bir eksen etrafında eğilmeye nasıl karşı koyduğunu gösterir.
• $E I$, eğilme rijitliği olarak adlandırılır.

Küçük eğimlere sahip bir Euler-Bernoulli kirişi için eğrilik ile eğilme momenti arasındaki ilişki şöyledir:

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

işaret konvansiyonuna bağlı olarak. Bu yüzden tüm kiriş sehim formülleri aynı deseni izler: daha büyük momentler daha fazla eğilme üretirken, daha büyük $E I$ bunu azaltır.

Yaygın bir kiriş sehim formülü: uç yük altındaki ankastre kiriş

Uzunluğu $L$ olan ve serbest ucunda noktasal yük $P$ bulunan bir ankastre kirişte, maksimum sehim uçta oluşur ve büyüklüğü

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

şeklindedir.

Burada,

• $P$ uygulanan yüktür
• $L$ kiriş uzunluğudur
• $E$ Young modülüdür
• $I$ ikinci alan momentidir

Bu formülü yalnızca şu koşullar problemle uyuşuyorsa kullanın:

• kiriş bir uçta ankastre, diğer uçta serbesttir
• yük serbest uçta etkir
• malzeme doğrusal elastik bölgede kalır
• sehimler ve eğimler, kiriş teorisinin iyi bir yaklaşım olması için yeterince küçüktür
• kiriş, Euler-Bernoulli teorisinin makul olması için yeterince incedir
• kesme deformasyonu ihmal edilir

Dikkat edilmesi gereken kısım $L^3$ terimidir. Diğer her şey aynı kalır ve uzunluk iki katına çıkarsa, uç sehimi $2^3 = 8$ kat daha büyük olur.

Sayısal çözülmüş örnek

Bir ankastre kiriş için şu değerler verilsin:

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Ankastre kirişin uç yük formülünü kullanın:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Değerleri yerine koyun ve baştan sona SI birimlerini koruyun:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

$(1.5)^3 = 3.375$ olduğundan bu ifade

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$

olur.

$$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Dolayısıyla uç sehimi

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

olur.

Bu değer, $1.5\ \mathrm{m}$ açıklığa göre çok küçüktür; dolayısıyla bu örnekte küçük-sehim varsayımı en azından makul görünür.

Kiriş sehim formüllerinde yaygın hatalar

Tek bir formülü evrensel sanmak

Ankastre kirişin uç yük formülü; basit mesnetli bir kirişe, düzgün yayılı yüke veya farklı mesnet koşuluna sahip bir kirişe uygulanmaz. Doğru ifade kuruluşa göre değişir.

$I$ değerini karıştırmak

Burada $I$, kesitin ikinci alan momenti anlamına gelir. Elektrik akımı değildir ve kütlesel atalet momenti de değildir.

Birimleri göz ardı etmek

Kiriş formülleri birimlere çok duyarlıdır; çünkü $I$ çoğu zaman $\mathrm{m^4}$ veya $\mathrm{mm^4}$ birimlerine sahiptir. Birim uyuşmazlığı cevabı milyonlarca kat değiştirebilir.

Formülü varsayımlarının dışında kullanmak

Sehimler büyükse, malzeme akıyorsa, kiriş ince değilse veya $E I$ açıklık boyunca değişiyorsa, basit bir ders kitabı formülü artık güvenilir olmayabilir.

Kiriş sehim formülü ne zaman kullanılır?

Kiriş sehim formülleri, yalnızca dayanım değil rijitlik gerektiğinde kullanılır. Bir kiriş kırılmayacak kadar dayanıklı olabilir ama yine de kullanım amacı için fazla sehim yapabilir.

Bu; yapılarda, makine elemanlarında, laboratuvar düzeneklerinde, raflarda ve hizalama ya da kullanılabilirliğin önemli olduğu uzun elemanlarda önemlidir. Uygulamada mühendisler çoğu zaman hem gerilmeyi hem de sehimi kontrol eder; çünkü bunlar farklı tasarım sınırlarıdır.

Benzer bir problem deneyin

Aynı ankastre kiriş örneğini alın ve yalnızca uzunluğu $L$ iki katına çıkarın. Hesap yapmadan önce $L^3$ teriminden yeni uç sehimini tahmin edin. Sonra farklı bir mesnet koşulu veya yük türü deneyin ve formülün hangi kısımlarının değiştiğini karşılaştırın.