Công thức độ võng của dầm

Công thức độ võng của dầm cho biết dầm bị uốn lệch bao xa dưới tác dụng của tải trọng. Nếu bạn đang tìm công thức độ võng dầm, điểm quan trọng là: không có một công thức duy nhất cho mọi loại dầm. Biểu thức đúng phụ thuộc vào điều kiện gối đỡ, dạng tải và độ cứng chống uốn $E I$.

Một trong những trường hợp phổ biến nhất là dầm công xôn chịu lực tập trung ở đầu tự do:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Công thức này chỉ hữu ích khi đúng trường hợp dầm đó và các giả thiết thông thường về độ võng nhỏ, đàn hồi tuyến tính là hợp lý.

Độ võng của dầm phụ thuộc vào những gì

Ý tưởng vật lý khá đơn giản. Tải trọng tạo ra mô men uốn, và dầm chống lại sự uốn đó thông qua $E I$.

• $E$ là mô đun Young, nên nó cho biết bản thân vật liệu cứng đến mức nào.
• $I$ là mô men quán tính tiết diện bậc hai, nên nó cho biết mặt cắt chống uốn quanh một trục đã chọn như thế nào.
• $E I$ được gọi là độ cứng chống uốn.

Với dầm Euler-Bernoulli có độ dốc nhỏ, độ cong liên hệ với mô men uốn bởi

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

tùy theo quy ước dấu. Đó là lý do các công thức độ võng dầm đều theo cùng một quy luật: mô men càng lớn thì độ uốn càng nhiều, còn $E I$ càng lớn thì độ võng càng giảm.

Một công thức độ võng dầm phổ biến: dầm công xôn chịu tải ở đầu

Với dầm công xôn dài $L$ chịu lực tập trung $P$ ở đầu tự do, độ võng lớn nhất xuất hiện tại đầu dầm và có độ lớn

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Ở đây,

• $P$ là tải trọng tác dụng
• $L$ là chiều dài dầm
• $E$ là mô đun Young
• $I$ là mô men quán tính tiết diện bậc hai

Chỉ dùng công thức này nếu các điều kiện sau phù hợp với bài toán:

• dầm được ngàm ở một đầu và tự do ở đầu còn lại
• tải trọng tác dụng tại đầu tự do
• vật liệu vẫn nằm trong miền đàn hồi tuyến tính
• độ võng và góc xoay đủ nhỏ để lý thuyết dầm là một xấp xỉ tốt
• dầm đủ mảnh để lý thuyết Euler-Bernoulli là hợp lý
• biến dạng cắt được bỏ qua

Hạng tử $L^3$ là phần đáng chú ý. Nếu mọi yếu tố khác giữ nguyên và chiều dài tăng gấp đôi, thì độ võng ở đầu dầm sẽ tăng $2^3 = 8$ lần.

Ví dụ tính toán với số liệu

Giả sử một dầm công xôn có

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Dùng công thức tải đầu mút của dầm công xôn:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Thay các giá trị vào và giữ đơn vị SI xuyên suốt:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Vì $(1.5)^3 = 3.375$, ta được

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Vậy độ võng ở đầu dầm là

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

Giá trị này rất nhỏ so với nhịp $1.5\ \mathrm{m}$, nên giả thiết độ võng nhỏ ít nhất là có vẻ hợp lý trong ví dụ này.

Những lỗi thường gặp với công thức độ võng dầm

Coi một công thức là dùng cho mọi trường hợp

Công thức tải đầu mút của dầm công xôn không áp dụng cho dầm kê đơn giản, tải phân bố đều hoặc dầm có điều kiện gối đỡ khác. Biểu thức đúng sẽ thay đổi theo cấu hình.

Nhầm lẫn về $I$

Ở đây, $I$ là mô men quán tính tiết diện bậc hai của mặt cắt. Nó không phải là cường độ dòng điện, cũng không phải là mô men quán tính khối lượng.

Bỏ qua đơn vị

Các công thức dầm rất nhạy với đơn vị vì $I$ thường có đơn vị là $\mathrm{m^4}$ hoặc $\mathrm{mm^4}$. Sai lệch đơn vị có thể làm kết quả chênh đi hàng triệu lần.

Dùng công thức ngoài phạm vi giả thiết

Nếu độ võng lớn, vật liệu bị chảy dẻo, dầm không đủ mảnh hoặc $E I$ thay đổi dọc theo nhịp, thì một công thức sách giáo khoa đơn giản có thể không còn đáng tin cậy.

Khi nào dùng công thức độ võng dầm

Công thức độ võng dầm được dùng khi bạn cần xét độ cứng, không chỉ độ bền. Một dầm có thể đủ bền để không bị gãy nhưng vẫn võng quá nhiều so với yêu cầu sử dụng.

Điều đó quan trọng trong kết cấu, chi tiết máy, gá lắp trong phòng thí nghiệm, kệ đỡ và các cấu kiện dài nơi độ thẳng hàng hoặc khả năng làm việc là yếu tố quan trọng. Trong thực tế, kỹ sư thường kiểm tra cả ứng suất lẫn độ võng vì đó là hai giới hạn thiết kế khác nhau.

Thử một bài tương tự

Giữ nguyên ví dụ dầm công xôn ở trên và chỉ tăng gấp đôi chiều dài $L$. Hãy dự đoán độ võng mới ở đầu dầm từ hạng tử $L^3$ trước khi tính. Sau đó thử một điều kiện gối đỡ hoặc dạng tải khác và so sánh xem những phần nào của công thức thay đổi.