สูตรการโก่งตัวของคาน

สูตรการโก่งตัวของคานใช้บอกว่าคานแอ่นหรือโก่งไปได้ไกลแค่ไหนเมื่อรับแรง ถ้าคุณค้นหาสูตรการโก่งตัวของคาน ประเด็นสำคัญคือไม่มีสูตรเดียวที่ใช้ได้กับคานทุกแบบ สมการที่ถูกต้องขึ้นอยู่กับเงื่อนไขการรองรับ รูปแบบของแรง และความแข็งต้านการดัด $E I$

หนึ่งในกรณีที่พบบ่อยที่สุดคือคานยื่นที่มีแรงจุดกระทำที่ปลายอิสระ:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเป็นกรณีคานแบบนี้โดยเฉพาะ และสมมติฐานทั่วไปเรื่องการโก่งตัวขนาดเล็กกับพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นยังใช้ได้อย่างสมเหตุสมผล

การโก่งตัวของคานขึ้นอยู่กับอะไร

แนวคิดทางกายภาพนั้นตรงไปตรงมา แรงที่กระทำทำให้เกิดโมเมนต์ดัด และคานจะต้านการดัดนั้นด้วย $E I$

• $E$ คือมอดูลัสของยัง จึงบอกถึงความแข็งของตัววัสดุเอง
• $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยอันดับสองของพื้นที่หน้าตัด จึงบอกว่าหน้าตัดต้านการดัดรอบแกนที่เลือกได้ดีเพียงใด
• $E I$ เรียกว่า flexural rigidity

สำหรับคานแบบออยเลอร์-แบร์นูลลีที่มีความชันเล็ก ความโค้งสัมพันธ์กับโมเมนต์ดัดโดย

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

โดยขึ้นอยู่กับข้อตกลงเรื่องเครื่องหมาย นี่จึงเป็นเหตุผลที่สูตรการโก่งตัวของคานทั้งหมดมีรูปแบบคล้ายกัน คือโมเมนต์ที่มากขึ้นทำให้เกิดการดัดมากขึ้น ขณะที่ $E I$ ที่มากขึ้นจะลดการโก่งตัวลง

สูตรการโก่งตัวของคานที่พบบ่อย: คานยื่นรับแรงที่ปลาย

สำหรับคานยื่นยาว $L$ ที่มีแรงจุด $P$ กระทำที่ปลายอิสระ การโก่งตัวมากที่สุดจะเกิดที่ปลาย และมีขนาดเป็น

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

โดยที่

• $P$ คือแรงที่กระทำ
• $L$ คือความยาวคาน
• $E$ คือมอดูลัสของยัง
• $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยอันดับสองของพื้นที่

ใช้สูตรนี้ได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขเหล่านี้ตรงกับโจทย์:

• คานยึดแน่นที่ปลายด้านหนึ่งและเป็นปลายอิสระอีกด้านหนึ่ง
• แรงกระทำที่ปลายอิสระ
• วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น
• การโก่งตัวและความชันมีขนาดเล็กพอที่ทฤษฎีคานจะยังเป็นการประมาณที่ดี
• คานมีความเพรียวพอที่ทฤษฎีออยเลอร์-แบร์นูลลีจะใช้ได้อย่างสมเหตุสมผล
• ละเลยการเสียรูปจากแรงเฉือน

พจน์ $L^3$ คือส่วนที่ควรสังเกต หากอย่างอื่นคงเดิมและความยาวเพิ่มเป็นสองเท่า การโก่งตัวที่ปลายจะเพิ่มเป็น $2^3 = 8$ เท่า

ตัวอย่างคำนวณพร้อมตัวเลข

สมมติว่าคานยื่นมีค่า

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

ใช้สูตรคานยื่นรับแรงที่ปลาย:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

แทนค่าตัวเลขและใช้หน่วย SI ให้สอดคล้องกันตลอด:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

เนื่องจาก $(1.5)^3 = 3.375$ จึงได้

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

ดังนั้นการโก่งตัวที่ปลายคือ

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

ค่านี้เล็กมากเมื่อเทียบกับช่วงคานยาว $1.5\ \mathrm{m}$ ดังนั้นสมมติฐานการโก่งตัวขนาดเล็กจึงอย่างน้อยก็ยังพอฟังขึ้นในตัวอย่างนี้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสูตรการโก่งตัวของคาน

คิดว่าสูตรหนึ่งใช้ได้กับทุกกรณี

สูตรคานยื่นรับแรงที่ปลายใช้ไม่ได้กับคานรองรับอย่างง่าย แรงกระจายสม่ำเสมอ หรือคานที่มีเงื่อนไขการรองรับต่างออกไป สมการที่ถูกต้องจะเปลี่ยนไปตามลักษณะการจัดวาง

สับสนความหมายของ $I$

ในที่นี้ $I$ หมายถึงโมเมนต์ความเฉื่อยอันดับสองของพื้นที่หน้าตัด ไม่ใช่กระแสไฟฟ้า และไม่ใช่โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงมวล

มองข้ามหน่วย

สูตรคานไวต่อหน่วยมาก เพราะ $I$ มักมีหน่วยเป็น $\mathrm{m^4}$ หรือ $\mathrm{mm^4}$ การใช้หน่วยไม่สอดคล้องกันอาจทำให้คำตอบคลาดเคลื่อนไปเป็นล้านเท่า

ใช้สูตรนอกเหนือจากสมมติฐานของมัน

ถ้าการโก่งตัวมีขนาดใหญ่ วัสดุเริ่มคราก คานไม่เพรียว หรือค่า $E I$ เปลี่ยนไปตามความยาวคาน สูตรอย่างง่ายจากตำราอาจไม่เชื่อถือได้อีกต่อไป

สูตรการโก่งตัวของคานใช้เมื่อใด

สูตรการโก่งตัวของคานใช้เมื่อคุณต้องสนใจเรื่องความแข็ง ไม่ใช่แค่ความแข็งแรง คานอาจแข็งแรงพอที่จะไม่หัก แต่ก็ยังโก่งตัวมากเกินไปสำหรับการใช้งานได้

เรื่องนี้สำคัญในโครงสร้าง ชิ้นส่วนเครื่องจักร อุปกรณ์ยึดจับในห้องปฏิบัติการ ชั้นวาง และชิ้นส่วนยาวที่ต้องการการจัดแนวหรือสมรรถนะการใช้งานที่ดี ในทางปฏิบัติ วิศวกรมักตรวจทั้งความเค้นและการโก่งตัว เพราะทั้งสองอย่างเป็นข้อจำกัดในการออกแบบคนละแบบกัน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้ตัวอย่างคานยื่นเดิม แต่เพิ่มเฉพาะความยาว $L$ เป็นสองเท่า ลองทำนายการโก่งตัวใหม่ที่ปลายจากพจน์ $L^3$ ก่อนคำนวณจริง จากนั้นลองเปลี่ยนเงื่อนไขการรองรับหรือชนิดของแรง แล้วเปรียบเทียบว่าส่วนใดของสูตรเปลี่ยนไป