Wzór na ugięcie belki

Wzór na ugięcie belki mówi, o ile belka ugina się pod obciążeniem. Jeśli szukasz wzoru na ugięcie belki, najważniejsze jest to: nie ma jednego wzoru dla każdej belki. Poprawne wyrażenie zależy od warunków podparcia, schematu obciążenia oraz sztywności na zginanie $E I$.

Jednym z najczęstszych przypadków jest belka wspornikowa z siłą skupioną przyłożoną na wolnym końcu:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Ten wzór jest użyteczny tylko wtedy, gdy dokładnie taki przypadek belki oraz typowe założenia małych ugięć i liniowej sprężystości są uzasadnione.

Od czego zależy ugięcie belki

Idea fizyczna jest prosta. Obciążenia wywołują momenty zginające, a belka przeciwstawia się temu zginaniu dzięki $E I$.

• $E$ to moduł Younga, więc określa sztywność samego materiału.
• $I$ to geometryczny moment bezwładności, więc określa, jak przekrój przeciwstawia się zginaniu względem wybranej osi.
• $E I$ nazywa się sztywnością giętną.

Dla belki Eulera-Bernoulliego o małych nachyleniach krzywizna jest związana z momentem zginającym zależnością

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

z dokładnością do przyjętej konwencji znaku. Dlatego wzory na ugięcie belki mają wspólny schemat: większe momenty powodują większe ugięcie, a większe $E I$ je zmniejsza.

Często używany wzór na ugięcie belki: wspornik z obciążeniem na końcu

Dla belki wspornikowej o długości $L$ z siłą skupioną $P$ przyłożoną na wolnym końcu maksymalne ugięcie występuje na końcu belki i ma wartość

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Tutaj

• $P$ to przyłożone obciążenie
• $L$ to długość belki
• $E$ to moduł Younga
• $I$ to geometryczny moment bezwładności

Używaj tego wzoru tylko wtedy, gdy warunki zadania są zgodne z poniższymi założeniami:

• belka jest utwierdzona na jednym końcu i swobodna na drugim
• obciążenie działa na wolnym końcu
• materiał pozostaje w zakresie liniowo sprężystym
• ugięcia i nachylenia są na tyle małe, że teoria belki daje dobre przybliżenie
• belka jest na tyle smukła, że teoria Eulera-Bernoulliego jest uzasadniona
• odkształcenia postaciowe są pomijane

Warto zwrócić uwagę na składnik $L^3$. Jeśli wszystko inne pozostaje bez zmian, a długość się podwaja, ugięcie końca rośnie $2^3 = 8$ razy.

Przykład obliczeniowy z liczbami

Załóżmy, że belka wspornikowa ma

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Użyj wzoru dla wspornika z obciążeniem na końcu:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Podstaw wartości i zachowaj jednostki SI w całym obliczeniu:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Ponieważ $(1.5)^3 = 3.375$, otrzymujemy

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Zatem ugięcie końca wynosi

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

To bardzo mało w porównaniu z rozpiętością $1.5\ \mathrm{m}$, więc założenie małych ugięć jest w tym przykładzie przynajmniej wiarygodne.

Typowe błędy przy stosowaniu wzorów na ugięcie belki

Traktowanie jednego wzoru jako uniwersalnego

Wzór dla wspornika z obciążeniem na końcu nie ma zastosowania do belki swobodnie podpartej, obciążenia równomiernie rozłożonego ani belki o innych warunkach podparcia. Poprawne wyrażenie zmienia się wraz z układem.

Pomylenie $I$

Tutaj $I$ oznacza geometryczny moment bezwładności przekroju. Nie jest to natężenie prądu ani masowy moment bezwładności.

Pomijanie jednostek

Wzory belkowe są bardzo wrażliwe na jednostki, ponieważ $I$ często ma jednostki $\mathrm{m^4}$ albo $\mathrm{mm^4}$. Niezgodność jednostek może zmienić wynik nawet miliony razy.

Stosowanie wzoru poza zakresem jego założeń

Jeśli ugięcia są duże, materiał ulega uplastycznieniu, belka nie jest smukła albo $E I$ zmienia się wzdłuż rozpiętości, prosty wzór z podręcznika może przestać być wiarygodny.

Kiedy stosuje się wzór na ugięcie belki

Wzory na ugięcie belki stosuje się wtedy, gdy liczy się sztywność, a nie tylko wytrzymałość. Belka może być wystarczająco wytrzymała, by się nie złamać, a mimo to uginać się zbyt mocno do danego zastosowania.

Ma to znaczenie w konstrukcjach, elementach maszyn, uchwytach laboratoryjnych, półkach i długich elementach, w których ważne są ustawienie lub użytkowalność. W praktyce inżynierowie często sprawdzają zarówno naprężenia, jak i ugięcie, ponieważ są to różne kryteria projektowe.

Spróbuj podobnego zadania

Pozostaw ten sam przykład wspornika i podwój tylko długość $L$. Przewidź nowe ugięcie końca na podstawie składnika $L^3$, zanim je obliczysz. Następnie rozważ inny rodzaj podparcia albo inny typ obciążenia i porównaj, które części wzoru się zmieniają.