はりのたわみ公式とは何ですか？

普遍的に使える単一のはりのたわみ公式があるわけではありません。結果は、支持条件、荷重のかかり方、はりの長さ、曲げ剛性 $E I$ によって決まります。自由端に集中荷重 $P$ を受ける片持ちはりでは、小たわみの標準的な結果として $\\delta_{max} = \\frac{P L^3}{3 E I}$ がよく使われます。

はりのたわみにおける $E$ と $I$ は何を意味しますか？

$E$ は材料のヤング率、$I$ は曲げ軸まわりの断面二次モーメントです。これらを合わせた $E I$ は曲げ剛性を表します。$E I$ が大きいほど、同じ荷重と形状でもたわみは小さくなります。

はりのたわみ公式

はりのたわみ公式は、荷重を受けたときにはりがどれだけ曲がるかを表すものです。はりのたわみ公式を調べているなら、重要な点はこれです。どんなはりにもそのまま使える単一の公式はありません。正しい式は、支持条件、荷重の分布、そして曲げ剛性 $E I$ によって決まります。

最もよくあるケースの一つが、自由端に集中荷重を受ける片持ちはりです。

\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}

この公式が役立つのは、そのはりの条件が正確に一致し、さらに通常の小たわみ・線形弾性の仮定が妥当な場合に限られます。

はりのたわみは何に依存するか

物理的な考え方はシンプルです。荷重は曲げモーメントを生み、はりは $E I$ によってその曲げに抵抗します。

$E$ はヤング率で、材料そのものの剛さを表します。
$I$ は断面二次モーメントで、選んだ軸まわりの曲げに対して断面がどれだけ抵抗するかを表します。
$E I$ は曲げ剛性と呼ばれます。

小さな傾きをもつ Euler-Bernoulli はりでは、曲率と曲げモーメントの関係は

\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}

と表されます（符号の取り方による違いはあります）。そのため、はりのたわみ公式はどれも同じような形になります。曲げモーメントが大きいほど曲がりやすく、 $E I$ が大きいほどたわみは小さくなります。

よく使われるはりのたわみ公式：先端荷重を受ける片持ちはり

長さ $L$ の片持ちはりの自由端に集中荷重 $P$ が作用するとき、最大たわみは先端で生じ、その大きさは

\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}

です。

ここで、

$P$ は作用荷重
$L$ ははりの長さ
$E$ はヤング率
$I$ は断面二次モーメント

を表します。

この公式を使ってよいのは、次の条件が問題設定と一致するときだけです。

はりは一端固定・他端自由である
荷重は自由端に作用する
材料は線形弾性範囲内にある
たわみと傾きが十分小さく、はり理論がよい近似になる
はりが十分に細長く、Euler-Bernoulli 理論が妥当である
せん断変形を無視している

注目すべきなのは $L^3$ の項です。他の条件が同じで長さだけが 2 倍になると、先端たわみは $2^3 = 8$ 倍になります。

数値を使った計算例

片持ちはりの条件が次のように与えられているとします。

$P = 120\ \mathrm{N}$
$L = 1.5\ \mathrm{m}$
$E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
$I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

片持ちはり先端荷重の公式を使います。

\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}

値を代入し、単位はすべて SI 単位系でそろえます。

\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}

$(1.5)^3 = 3.375$ なので、

\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}

となります。

\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}

したがって、先端たわみは

0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}

です。

これは $1.5\ \mathrm{m}$ のスパンと比べると非常に小さいので、この例では小たわみの仮定は少なくとももっともらしいといえます。