Somme de Riemann : définition, formule et exemple

Une somme de Riemann permet d’approximer une intégrale définie en découpant un intervalle en petites parties, en construisant un rectangle sur chaque partie, puis en additionnant les aires de ces rectangles. En bref : largeur fois hauteur sur chaque tranche, puis on additionne toutes les tranches.

Pour une fonction $f$ sur $[a,b]$, la formule générale d’une somme de Riemann est

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

Ici, $\Delta x_i$ est la largeur du $i$-ème sous-intervalle, et $x_i^*$ est le point d’échantillonnage choisi à l’intérieur de ce sous-intervalle. Ce point peut être l’extrémité gauche, l’extrémité droite ou le milieu.

Ce que signifie une somme de Riemann

L’intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ mesure une accumulation sur un intervalle. Géométriquement, elle représente souvent l’aire algébrique sous la courbe.

Une somme de Riemann remplace la courbe par des rectangles plus faciles à additionner. Quand les tranches deviennent plus fines, les rectangles suivent en général le graphe de plus près. Si $f$ est continue sur $[a,b]$, des subdivisions plus fines font tendre les sommes vers l’intégrale exacte.

C’est l’idée centrale de l’intégration : l’intégrale est la limite de ces petites contributions accumulées.

Sommes de Riemann à gauche, à droite et au milieu

Si les sous-intervalles ont tous la même largeur, alors

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

et la règle de choix du point d’échantillonnage détermine le type de somme :

• Somme à gauche : on utilise l’extrémité gauche de chaque sous-intervalle.
• Somme à droite : on utilise l’extrémité droite de chaque sous-intervalle.
• Somme au milieu : on utilise le milieu de chaque sous-intervalle.

Ces choix peuvent faire varier l’estimation vers le haut ou vers le bas. Si la fonction est croissante sur tout l’intervalle, une somme à gauche sous-estime et une somme à droite surestime. Cette conclusion dépend du fait que la fonction soit réellement croissante sur cet intervalle.

Exemple détaillé : somme de Riemann à droite pour $f(x) = x^2$ sur $[0,2]$

Approchons $\int_0^2 x^2\,dx$ à l’aide d’une somme de Riemann à droite avec $n=4$ sous-intervalles de même largeur.

Commençons par trouver la largeur de chaque sous-intervalle :

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

Comme il s’agit d’une somme à droite, on utilise les extrémités droites :

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

Évaluons maintenant la fonction :

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

Construisons la somme :

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

Additionnons à l’intérieur des parenthèses :

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

Donc

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

L’intégrale exacte vaut

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

La comparaison est plus importante que le calcul lui-même. La somme à droite donne $3.75$, tandis que l’intégrale exacte vaut environ $2.67$, donc la somme à droite est une surestimation. Cela arrive ici parce que $x^2$ est croissante sur $[0,2]$, ce qui rend chaque rectangle construit à partir de l’extrémité droite un peu trop haut.

Erreurs fréquentes avec les sommes de Riemann

1. Confondre $\Delta x$ et le point d’échantillonnage. $\Delta x$ est la largeur ; $x_i^*$ est l’endroit où l’on mesure la hauteur.
2. Utiliser les extrémités droites alors que l’énoncé demande les extrémités gauches, ou l’inverse.
3. Oublier que l’estimation peut être au-dessus ou au-dessous de l’intégrale exacte selon la fonction et la règle d’échantillonnage.
4. Considérer chaque somme de Riemann comme une aire ordinaire. Si la fonction est sous l’axe des $x$, l’intégrale définie et la somme de Riemann donnent une aire algébrique, pas une aire physique totale.
5. Supposer que davantage de rectangles résolvent toujours tous les problèmes. Des subdivisions plus fines améliorent l’approximation dans des conditions standard comme la continuité, mais la somme reste une approximation tant qu’on ne prend pas au sérieux l’idée de limite.

Quand les sommes de Riemann sont utilisées

Les sommes de Riemann sont utiles chaque fois qu’une grandeur est construite à partir de nombreuses petites contributions.

• En calcul différentiel et intégral, elles donnent l’intuition derrière l’intégrale définie.
• En physique, elles peuvent modéliser des quantités accumulées, comme un déplacement obtenu à partir d’échantillons de vitesse.
• En calcul numérique, elles fournissent des estimations simples lorsqu’une primitive exacte est peu pratique ou n’est pas l’objectif.

Elles constituent aussi une vérification concrète pour savoir si l’on comprend vraiment ce que signifie une intégrale avant d’appliquer mécaniquement les règles sur les primitives.

Une façon rapide de lire la formule

Chaque terme $f(x_i^*) \Delta x_i$ représente une petite contribution. La somme complète dit simplement : additionner toutes les petites contributions sur l’intervalle.

On retrouve cette même structure partout en calcul : petite contribution fois largeur, puis addition. Une somme de Riemann rend cette structure visible avant que la notation de limite ne la transforme en intégrale.

Essayez un problème similaire

Essayez une somme au milieu pour $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ avec le même $n=4$. Comparez ensuite le résultat avec la somme à droite ci-dessus et avec la valeur exacte $\frac{8}{3}$. C’est un moyen rapide de voir comment le choix du point d’échantillonnage modifie l’estimation.