Aire d’un losange — avec les diagonales et la base-hauteur

L’aire d’un losange est la surface à l’intérieur de la figure. Dans la plupart des exercices, on utilise l’une de ces deux formules :

$$A = bh$$

et

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Utilisez $A = bh$ lorsque vous connaissez une base et la hauteur perpendiculaire. Utilisez $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ lorsque vous connaissez les diagonales complètes.

Formules de l’aire d’un losange

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux. C’est aussi un type de parallélogramme, donc les côtés opposés sont parallèles.

C’est important, car tout losange suit la même idée base-hauteur qu’un parallélogramme :

$$A = bh$$

Ici, $h$ n’est pas un côté incliné. C’est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé.

Pourquoi la formule avec les diagonales fonctionne

Si vous connaissez une base et la hauteur perpendiculaire, l’aire se calcule directement avec $A = bh$.

Si vous connaissez plutôt les diagonales, le losange a une propriété particulière : ses diagonales sont perpendiculaires. Elles partagent la figure en quatre triangles rectangles, donc l’aire totale devient

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Cette formule utilise les diagonales complètes, et non les demi-diagonales allant du centre à un sommet.

Exemple résolu avec les diagonales

Supposons qu’un losange ait pour diagonales $d_1 = 10$ cm et $d_2 = 8$ cm.

Utilisez la formule des diagonales :

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Remplacez par les valeurs :

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

Donc l’aire est

$$40\ \text{cm}^2$$

Une vérification rapide est utile. Les moitiés des diagonales valent $5$ cm et $4$ cm, donc chacun des quatre triangles rectangles a pour aire

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

Quatre triangles de ce type donnent

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

ce qui correspond à la première méthode.

Quand utiliser la base et la hauteur

Utilisez $A = bh$ lorsque l’énoncé donne directement une base et une hauteur perpendiculaire.

Par exemple, si un losange a une base de $7$ cm et une hauteur perpendiculaire de $6$ cm, alors

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

Ne remplacez pas la hauteur par le côté incliné, sauf si le losange est en fait un carré ou si le côté est indiqué comme perpendiculaire.

Erreurs fréquentes avec l’aire d’un losange

Utiliser la longueur d’un côté comme hauteur

Dans un losange incliné, la longueur du côté et la hauteur perpendiculaire sont différentes. Si vous utilisez $A = bh$, assurez-vous que $h$ est perpendiculaire à la base.

Oublier que la formule avec les diagonales demande les diagonales complètes

Si un schéma montre des demi-diagonales à partir du centre, ne remplacez pas directement ces valeurs dans $A = \frac{d_1 d_2}{2}$. Doublez-les d’abord pour obtenir les diagonales complètes.

Utiliser côté fois côté

Pour un losange quelconque, $s^2$ n’est pas l’aire. Cela fonctionne seulement dans le cas particulier où le losange est un carré.

Oublier les unités carrées

L’aire se mesure en unités carrées, et non en unités simples.

Quand l’aire d’un losange est utilisée

L’aire d’un losange apparaît en géométrie scolaire, en géométrie analytique, dans les problèmes de pavage et dans tout schéma comportant une région en forme de diamant.

Elle est particulièrement utile lorsque les diagonales sont plus faciles à mesurer que la hauteur. Dans d’autres exercices, la base et la hauteur perpendiculaire sont plus simples à utiliser. La bonne formule dépend des mesures dont vous disposez réellement.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec des diagonales de $12$ cm et $9$ cm. Résolvez ensuite une deuxième version avec une base de $7$ cm et une hauteur perpendiculaire de $6$ cm. Comparer ces deux situations aide à bien retenir les deux formules.