Eşkenar Dörtgenin Alanı — Köşegenler ve Taban-Yükseklik

Eşkenar dörtgenin alanı, şeklin içinde kalan bölgedir. Çoğu soruda şu iki formülden biri kullanılır:

$$A = bh$$

ve

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Bir taban ve dik yükseklik biliniyorsa $A = bh$ kullanılır. Tam köşegenler biliniyorsa $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ kullanılır.

Eşkenar dörtgenin alan formülleri

Eşkenar dörtgen, dört kenarı da eşit olan bir dörtgendir. Aynı zamanda bir paralelkenar türüdür, yani karşılıklı kenarlar paraleldir.

Bu önemlidir çünkü her eşkenar dörtgen, paralelkenardaki aynı taban-yükseklik fikrine uyar:

$$A = bh$$

Burada $h$, eğik bir kenar değildir. Taban ile karşı kenar arasındaki dik uzaklıktır.

Köşegen formülü neden çalışır?

Bir taban ve dik yükseklik biliniyorsa alan doğrudan $A = bh$ ile bulunur.

Bunun yerine köşegenler biliniyorsa, eşkenar dörtgenin özel bir özelliği vardır: köşegenleri diktir. Bu köşegenler şekli dört dik üçgene böler, bu yüzden toplam alan

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

olur.

Bu formülde yarım köşegenler değil, tam köşegenler kullanılır.

Köşegenlerle çözümlü örnek

Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin $d_1 = 10$ cm ve $d_2 = 8$ cm olduğunu düşünelim.

Köşegen formülünü kullanalım:

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Değerleri yerine yazalım:

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

Buna göre alan

$$40\ \text{cm}^2$$

olur.

Kısa bir kontrol yapalım. Köşegenlerin yarıları $5$ cm ve $4$ cm’dir, bu yüzden dört dik üçgenden her birinin alanı

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

olur.

Bu tür dört üçgenin toplamı

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

eder ve bu da ilk yöntemle aynı sonucu verir.

Bunun yerine ne zaman taban ve yükseklik kullanılır?

Soru doğrudan bir taban ve dik yükseklik veriyorsa $A = bh$ kullanın.

Örneğin, bir eşkenar dörtgenin tabanı $7$ cm ve dik yüksekliği $6$ cm ise

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

olur.

Eşkenar dörtgen aslında kare değilse ya da kenarın dik olduğu belirtilmemişse, yüksekliğin yerine eğik kenarı kullanmayın.

Eşkenar dörtgenin alanında sık yapılan hatalar

Bir kenar uzunluğunu yükseklik sanmak

Eğik bir eşkenar dörtgende kenar uzunluğu ile dik yükseklik farklıdır. $A = bh$ kullanıyorsanız, $h$ değerinin tabana dik olduğundan emin olun.

Köşegen formülünde tam köşegen gerektiğini unutmak

Şekilde merkezden çizilmiş yarım köşegenler verilmişse, bu değerleri doğrudan $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ formülüne yazmayın. Önce iki katını alarak tam köşegenleri bulun.

Kenar çarpı kenar kullanmak

Genel bir eşkenar dörtgende $s^2$ alan değildir. Bu yalnızca eşkenar dörtgenin kare olduğu özel durumda geçerlidir.

Kare birimleri yazmayı unutmak

Alan, düz birimlerle değil kare birimlerle ölçülür.

Eşkenar dörtgenin alanı nerelerde kullanılır?

Eşkenar dörtgenin alanı; okul geometrisinde, analitik geometride, döşeme problemlerinde ve elmas biçimli bölgeler içeren şekillerde karşınıza çıkar.

Özellikle köşegenleri ölçmek, yüksekliği ölçmekten daha kolaysa çok kullanışlıdır. Bazı sorularda ise taban ve dik yükseklik daha pratik olur. Doğru formül, elinizde hangi ölçülerin olduğuna bağlıdır.

Benzer bir soru deneyin

Köşegenleri $12$ cm ve $9$ cm olan kendi örneğinizi çözün. Sonra tabanı $7$ cm ve dik yüksekliği $6$ cm olan ikinci bir örnek çözün. Bu iki düzeni karşılaştırmak, iki formülün daha iyi pekişmesini sağlar.