Fläche einer Raute — mit Diagonalen und Grundseite-Höhe

Die Fläche einer Raute ist der Raum innerhalb der Form. In den meisten Aufgaben verwendest du eine dieser beiden Formeln:

$$A = bh$$

und

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Verwende $A = bh$, wenn du eine Grundseite und die senkrechte Höhe kennst. Verwende $A = \frac{d_1 d_2}{2}$, wenn du die vollständigen Diagonalen kennst.

Formeln für die Fläche einer Raute

Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Sie ist auch eine Art Parallelogramm, daher sind gegenüberliegende Seiten parallel.

Das ist wichtig, weil für jede Raute dieselbe Grundseite-Höhe-Idee wie beim Parallelogramm gilt:

$$A = bh$$

Hier ist $h$ keine schräge Seite. Es ist der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Seite.

Warum die Diagonalformel funktioniert

Wenn du eine Grundseite und die senkrechte Höhe kennst, ergibt sich die Fläche direkt aus $A = bh$.

Wenn du stattdessen die Diagonalen kennst, hat die Raute eine besondere Eigenschaft: Ihre Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Sie teilen die Form in vier rechtwinklige Dreiecke, sodass die Gesamtfläche zu

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

wird.

Diese Formel verwendet die vollständigen Diagonalen, nicht die halben Diagonalen vom Mittelpunkt zu einer Ecke.

Durchgerechnetes Beispiel mit Diagonalen

Angenommen, eine Raute hat die Diagonalen $d_1 = 10$ cm und $d_2 = 8$ cm.

Verwende die Diagonalformel:

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Setze die Werte ein:

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

Die Fläche ist also

$$40\ \text{cm}^2$$

Eine kurze Kontrolle hilft. Die Hälften der Diagonalen sind $5$ cm und $4$ cm, also hat jedes der vier rechtwinkligen Dreiecke die Fläche

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

Vier solche Dreiecke ergeben

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

und das stimmt mit der ersten Methode überein.

Wann man stattdessen Grundseite und Höhe verwendet

Verwende $A = bh$, wenn in der Aufgabe eine Grundseite und eine senkrechte Höhe direkt gegeben sind.

Wenn eine Raute zum Beispiel die Grundseite $7$ cm und die senkrechte Höhe $6$ cm hat, dann gilt

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

Ersetze die Höhe nicht durch die schräge Seite, es sei denn, die Raute ist tatsächlich ein Quadrat oder die Seite ist als senkrecht markiert.

Häufige Fehler bei der Flächenberechnung einer Raute

Eine Seitenlänge als Höhe verwenden

Bei einer schrägen Raute sind Seitenlänge und senkrechte Höhe unterschiedlich. Wenn du $A = bh$ verwendest, achte darauf, dass $h$ senkrecht zur Grundseite ist.

Vergessen, dass die Diagonalformel vollständige Diagonalen braucht

Wenn in einer Zeichnung halbe Diagonalen vom Mittelpunkt aus eingezeichnet sind, setze diese Werte nicht direkt in $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ ein. Verdopple sie zuerst, um die vollständigen Diagonalen zu erhalten.

Seite mal Seite verwenden

Für eine allgemeine Raute ist $s^2$ nicht die Fläche. Das funktioniert nur im Sonderfall, dass die Raute ein Quadrat ist.

Die Flächeneinheiten weglassen

Fläche wird in Flächeneinheiten gemessen, nicht in einfachen Längeneinheiten.

Wo die Fläche einer Raute verwendet wird

Die Fläche einer Raute kommt in der Schulgeometrie, in der Koordinatengeometrie, bei Parkettierungsaufgaben und in jeder Zeichnung mit einem rautenförmigen Bereich vor.

Sie ist besonders nützlich, wenn sich die Diagonalen leichter messen lassen als die Höhe. In anderen Aufgaben sind Grundseite und senkrechte Höhe der einfachere Weg. Die richtige Formel hängt davon ab, welche Maße du tatsächlich hast.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Version mit den Diagonalen $12$ cm und $9$ cm. Löse dann eine zweite Version mit der Grundseite $7$ cm und der senkrechten Höhe $6$ cm. Der Vergleich dieser beiden Ansätze hilft dabei, sich die zwei Formeln einzuprägen.