Área do losango — usando diagonais e base com altura

A área de um losango é o espaço dentro da figura. Na maioria dos problemas, você usa uma destas duas fórmulas:

$$A = bh$$

e

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Use $A = bh$ quando você conhece uma base e a altura perpendicular. Use $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ quando você conhece as diagonais completas.

Fórmulas da área do losango

Um losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais. Ele também é um tipo de paralelogramo, então os lados opostos são paralelos.

Isso importa porque todo losango segue a mesma ideia de base e altura de um paralelogramo:

$$A = bh$$

Aqui, $h$ não é um lado inclinado. É a distância perpendicular da base até o lado oposto.

Por que a fórmula das diagonais funciona

Se você conhece uma base e a altura perpendicular, a área vem diretamente de $A = bh$.

Se você conhece as diagonais, o losango tem uma propriedade especial: suas diagonais são perpendiculares. Elas dividem a figura em quatro triângulos retângulos, então a área total fica

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Essa fórmula usa as diagonais completas, não as meias diagonais do centro até um vértice.

Exemplo resolvido usando as diagonais

Suponha que um losango tenha diagonais $d_1 = 10$ cm e $d_2 = 8$ cm.

Use a fórmula das diagonais:

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

Substitua os valores:

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

Então, a área é

$$40\ \text{cm}^2$$

Uma verificação rápida ajuda. As metades das diagonais são $5$ cm e $4$ cm, então cada um dos quatro triângulos retângulos tem área

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

Quatro triângulos assim dão

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

o que confere com o primeiro método.

Quando usar base e altura

Use $A = bh$ quando o problema fornecer diretamente uma base e uma altura perpendicular.

Por exemplo, se um losango tem base $7$ cm e altura perpendicular $6$ cm, então

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

Não troque a altura pelo lado inclinado, a menos que o losango seja de fato um quadrado ou que o lado esteja marcado como perpendicular.

Erros comuns na área do losango

Usar o comprimento do lado como altura

Em um losango inclinado, o comprimento do lado e a altura perpendicular são diferentes. Se você usar $A = bh$, verifique se $h$ é perpendicular à base.

Esquecer que a fórmula das diagonais precisa das diagonais completas

Se um diagrama mostrar meias diagonais a partir do centro, não coloque esses valores diretamente em $A = \frac{d_1 d_2}{2}$. Dobre-os primeiro para obter as diagonais completas.

Usar lado vezes lado

Para um losango em geral, $s^2$ não é a área. Isso só funciona no caso especial em que o losango é um quadrado.

Esquecer as unidades quadradas

A área é medida em unidades quadradas, não em unidades simples.

Quando a área do losango é usada

A área do losango aparece na geometria escolar, na geometria analítica, em problemas de revestimento e em qualquer diagrama com uma região em forma de diamante.

Ela é especialmente útil quando as diagonais são mais fáceis de medir do que a altura. Em outros problemas, base e altura perpendicular são o caminho mais direto. A fórmula certa depende das medidas que você realmente tem.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com diagonais de $12$ cm e $9$ cm. Depois resolva uma segunda versão com base $7$ cm e altura perpendicular $6$ cm. Comparar essas duas situações ajuda a fixar as duas fórmulas.