ひし形の面積 — 対角線と底辺・高さの公式

ひし形の面積とは、図形の内側の広さのことです。多くの問題では、次の2つの公式のどちらかを使います。

$$A = bh$$

と

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

底辺と垂直な高さがわかっているときは $A = bh$ を使います。対角線全体の長さがわかっているときは $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ を使います。

ひし形の面積の公式

ひし形は、4辺がすべて等しい四角形です。また、平行四辺形の一種でもあるので、向かい合う辺は平行です。

このことが重要なのは、ひし形も平行四辺形と同じ底辺×高さの考え方に従うからです。

$$A = bh$$

ここで、$h$ は斜めの辺ではありません。底辺から向かい合う辺までの垂直な距離です。

なぜ対角線の公式が成り立つのか

底辺と垂直な高さがわかっていれば、面積はそのまま $A = bh$ で求められます。

一方、対角線がわかっている場合、ひし形には特別な性質があります。対角線が垂直に交わるのです。すると図形は4つの直角三角形に分かれるので、全体の面積は

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

となります。

この公式で使うのは対角線全体の長さであり、中心から頂点までの半分の長さではありません。

対角線を使う例題

ひし形の対角線が $d_1 = 10$ cm、$d_2 = 8$ cm だとします。

対角線の公式を使います。

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

値を代入すると、

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

したがって、面積は

$$40\ \text{cm}^2$$

です。

簡単に確かめることもできます。対角線の半分はそれぞれ $5$ cm と $4$ cm なので、4つの直角三角形それぞれの面積は

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

です。

このような三角形が4つあるので、

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

となり、最初の方法と一致します。

底辺と高さを使うのはどんなときか

問題で底辺と垂直な高さが直接与えられているときは、$A = bh$ を使います。

たとえば、ひし形の底辺が $7$ cm、垂直な高さが $6$ cm なら、

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

です。

ひし形が実際に正方形であるか、辺が垂直だと示されている場合を除いて、高さを斜めの辺で置き換えてはいけません。

ひし形の面積でよくあるミス

辺の長さを高さとして使ってしまう

傾いたひし形では、辺の長さと垂直な高さは異なります。$A = bh$ を使うときは、$h$ が底辺に垂直であることを確認しましょう。

対角線の公式には対角線全体が必要なことを忘れる

図に中心からの半対角線だけが示されている場合、その値をそのまま $A = \frac{d_1 d_2}{2}$ に代入してはいけません。まず2倍して、対角線全体の長さにします。

「一辺×一辺」を使ってしまう

一般のひし形では、$s^2$ は面積ではありません。これが成り立つのは、ひし形が正方形である特別な場合だけです。

平方単位を書き忘れる

面積は、ただの単位ではなく平方単位で表します。

ひし形の面積が使われる場面

ひし形の面積は、学校の図形問題、座標幾何、敷き詰めの問題、ひし形の領域が出てくる図などで現れます。

特に、高さより対角線のほうが測りやすいときに便利です。一方で、底辺と垂直な高さのほうが使いやすい問題もあります。どちらの公式を使うかは、実際に与えられている長さによって決まります。

似た問題に挑戦してみよう

対角線が $12$ cm と $9$ cm の場合で、自分でも解いてみましょう。次に、底辺が $7$ cm、垂直な高さが $6$ cm の場合でも解いてみてください。2つの設定を比べると、2つの公式の違いがつかみやすくなります。