마름모 넓이 구하기 — 대각선과 밑변·높이 공식

마름모의 넓이는 도형 내부의 공간입니다. 대부분의 문제에서는 다음 두 공식 중 하나를 사용합니다.

$$A = bh$$

그리고

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

밑변과 수직 높이를 알 때는 $A = bh$를 사용합니다. 전체 대각선의 길이를 알 때는 $A = \frac{d_1 d_2}{2}$를 사용합니다.

마름모 넓이 공식

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 또한 평행사변형의 한 종류이므로 마주 보는 두 변은 서로 평행합니다.

이 점이 중요한 이유는 모든 마름모가 평행사변형과 같은 밑변-높이 개념을 따르기 때문입니다.

$$A = bh$$

여기서 $h$는 기울어진 변이 아닙니다. 밑변에서 마주 보는 변까지의 수직거리입니다.

왜 대각선 공식이 성립할까

밑변과 수직 높이를 알고 있다면 넓이는 바로 $A = bh$로 구할 수 있습니다.

대각선을 알고 있다면, 마름모에는 특별한 성질이 있습니다. 바로 두 대각선이 서로 수직이라는 점입니다. 이 대각선들은 도형을 네 개의 직각삼각형으로 나누므로, 전체 넓이는

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

가 됩니다.

이 공식에는 중심에서 꼭짓점까지의 반대각선이 아니라, 전체 대각선의 길이를 사용합니다.

대각선을 이용한 풀이 예제

어떤 마름모의 대각선이 $d_1 = 10$ cm, $d_2 = 8$ cm라고 합시다.

대각선 공식을 사용하면

$$A = \frac{d_1 d_2}{2}$$

값을 대입하여

$$A = \frac{10 \cdot 8}{2}$$ $$A = \frac{80}{2} = 40$$

따라서 넓이는

$$40\ \text{cm}^2$$

입니다.

간단히 확인해 볼 수도 있습니다. 대각선의 절반은 각각 $5$ cm와 $4$ cm이므로, 네 개의 직각삼각형 각각의 넓이는

$$\frac{1}{2}(5)(4) = 10$$

입니다.

이런 삼각형이 네 개이므로

$$4 \cdot 10 = 40\ \text{cm}^2$$

가 되어, 처음 방법과 같은 결과가 나옵니다.

밑변과 높이를 대신 사용할 때

문제에서 밑변과 수직 높이가 직접 주어지면 $A = bh$를 사용하세요.

예를 들어, 어떤 마름모의 밑변이 $7$ cm이고 수직 높이가 $6$ cm라면

$$A = bh = 7 \cdot 6 = 42\ \text{cm}^2$$

입니다.

마름모가 실제로 정사각형이거나 그 변이 수직이라고 표시된 경우가 아니라면, 높이 대신 기울어진 변의 길이를 넣으면 안 됩니다.

마름모 넓이에서 자주 하는 실수

변의 길이를 높이로 사용하는 경우

기울어진 마름모에서는 변의 길이와 수직 높이가 다릅니다. $A = bh$를 사용할 때는 $h$가 밑변에 수직인지 꼭 확인하세요.

대각선 공식에 전체 대각선이 필요하다는 점을 잊는 경우

그림에 중심에서 그은 반대각선만 보인다면, 그 값을 바로 $A = \frac{d_1 d_2}{2}$에 넣으면 안 됩니다. 먼저 두 배로 해서 전체 대각선을 구하세요.

변 × 변을 사용하는 경우

일반적인 마름모에서는 $s^2$가 넓이가 아닙니다. 이것이 성립하는 것은 마름모가 정사각형인 특별한 경우뿐입니다.

제곱단위를 빼먹는 경우

넓이는 일반 단위가 아니라 제곱단위로 나타냅니다.

마름모의 넓이는 어디에 쓰일까

마름모의 넓이는 학교 기하, 좌표기하, 타일 채우기 문제, 그리고 마름모 모양의 영역이 있는 여러 도형 문제에서 등장합니다.

특히 높이보다 대각선을 재기 쉬운 경우에 유용합니다. 반대로 어떤 문제에서는 밑변과 수직 높이를 쓰는 편이 더 간단합니다. 어떤 공식을 쓸지는 실제로 주어진 측정값에 따라 달라집니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

대각선이 $12$ cm와 $9$ cm인 경우를 직접 풀어 보세요. 그다음에는 밑변이 $7$ cm이고 수직 높이가 $6$ cm인 경우도 풀어 보세요. 이렇게 두 가지 상황을 비교하면 두 공식을 더 확실하게 익힐 수 있습니다.