Applications des dérivées — maxima, minima et taux de variation

Les applications des dérivées reposent généralement sur deux idées essentielles : utiliser $f'(x)$ pour mesurer un taux de variation instantané, et utiliser $f'(x)$ pour trouver où une grandeur atteint un maximum ou un minimum. Si un problème demande à quelle vitesse quelque chose change à un instant donné, ou quand une valeur est la plus grande ou la plus petite, la dérivée est en général l’outil qu’il faut.

Une condition est importante dès le départ : si la question demande un maximum ou un minimum absolu sur un intervalle fermé, vous devez comparer les points critiques et les bornes. Vérifier seulement les points où $f'(x)=0$ ne suffit pas.

À quoi servent les dérivées

La dérivée $f'(x)$ indique comment la sortie change quand l’entrée change en un point précis. Cette idée unique apparaît dans plusieurs tâches classiques du calcul différentiel.

• En termes de courbe, elle donne la pente de la tangente.
• En mouvement, elle peut donner la vitesse comme taux de variation de la position.
• En optimisation, elle aide à repérer les endroits où une grandeur cesse d’augmenter et commence à diminuer, ou l’inverse.

Le contexte change selon la géométrie, la physique, l’économie ou l’ingénierie, mais la question de fond reste la même : comment une grandeur réagit-elle quand une autre varie ?

Comment les dérivées aident à trouver les maxima et minima

Un maximum local est un point où la fonction est plus grande que les valeurs voisines. Un minimum local est plus petit que les valeurs voisines. Ces situations se produisent souvent aux points critiques, c’est-à-dire aux points où $f'(x)=0$ ou où $f'(x)$ n’existe pas alors que $f(x)$ est encore définie.

Pourquoi $f'(x)=0$ est-il important ? Parce qu’en un point de retournement régulier, la tangente est horizontale, donc la pente vaut $0$.

Cependant, tout point critique n’est pas un extremum. Une fonction peut s’aplatir puis continuer dans le même sens global. C’est pourquoi on vérifie généralement si $f'(x)$ change de signe autour du point :

• de positif à négatif : maximum local
• de négatif à positif : minimum local

Si la fonction est deux fois dérivable au voisinage du point, la dérivée seconde peut aussi aider :

• $f''(x) < 0$ suggère que la courbe est concave vers le bas à cet endroit, donc le point est un maximum local
• $f''(x) > 0$ suggère que la courbe est concave vers le haut à cet endroit, donc le point est un minimum local

Le raccourci avec la dérivée seconde n’est utile que si elle existe et n’est pas nulle au point critique. Si $f''(x)=0$, il faut utiliser un autre test.

Exemple corrigé : utiliser les dérivées pour trouver une hauteur maximale

Supposons que la hauteur d’une balle soit modélisée par

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

où $h$ est en mètres et $t$ en secondes. Ce type de modèle n’est utile que sur l’intervalle de temps pendant lequel la balle est réellement en l’air.

Étape 1 : Dériver la fonction

$$h'(t) = -10t + 20$$

Cette dérivée est le taux de variation instantané de la hauteur par rapport au temps. Dans ce contexte, c’est la vitesse verticale en mètres par seconde.

Étape 2 : Trouver quand le taux de variation est nul

On pose la dérivée égale à zéro :

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

À $t=2$, la vitesse verticale est $0$. C’est donc un candidat pour un maximum ou un minimum.

Étape 3 : Vérifier s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum

Avant $t=2$, la dérivée est positive, donc la hauteur augmente. Après $t=2$, la dérivée est négative, donc la hauteur diminue.

Ce changement de signe signifie que la balle atteint une hauteur maximale à $t=2$.

Étape 4 : Évaluer la fonction d’origine

Remplaçons $t=2$ dans la fonction d’origine :

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

La hauteur maximale est donc de $22$ mètres.

Cet exemple montre les deux principales applications en même temps :

• $h'(t)$ donne un taux de variation
• poser $h'(t)=0$ aide à trouver quand la hauteur est maximale

Erreurs fréquentes dans les applications des dérivées

1. Considérer toute solution de $f'(x)=0$ comme un maximum ou un minimum sans vérifier ce qui se passe autour.
2. Oublier les bornes quand la question demande un maximum ou un minimum absolu sur un intervalle fermé.
3. Confondre la fonction d’origine et sa dérivée. La dérivée peut indiquer où l’extremum se produit, mais la valeur maximale ou minimale elle-même vient de la fonction d’origine.
4. Ignorer les unités. Si la position est en mètres et le temps en secondes, alors la dérivée est en mètres par seconde.
5. Utiliser un modèle en dehors de l’intervalle où il a un sens physique.

Où utilise-t-on les applications des dérivées

Au début de l’analyse, les dérivées sont utilisées pour l’étude de courbes, les tangentes, le mouvement et l’optimisation. En sciences et en ingénierie, elles décrivent des systèmes qui évoluent, comme la vitesse, l’accélération, le flux thermique, le courant ou la croissance. En économie, elles peuvent décrire le coût marginal ou la recette marginale, qui sont eux aussi des taux de variation.

Essayez un problème similaire sur les dérivées

Essayez votre propre version avec

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

Calculez $f'(x)$, trouvez le point critique, décidez s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum, puis calculez la valeur de la fonction en ce point. Si vous voulez ensuite étudier un autre cas, la page sur les taux liés montre comment la même idée de dérivée fonctionne lorsque deux grandeurs variables sont liées.