Penerapan Turunan — Maksimum, Minimum & Laju Perubahan

Penerapan turunan biasanya bermuara pada dua gagasan inti: menggunakan $f'(x)$ untuk mengukur laju perubahan sesaat, dan menggunakan $f'(x)$ untuk mencari saat suatu besaran mencapai nilai maksimum atau minimum. Jika sebuah soal menanyakan seberapa cepat sesuatu berubah saat ini, atau kapan suatu nilai paling tinggi atau paling rendah, turunan biasanya menjadi alat yang Anda perlukan.

Ada satu syarat penting sejak awal: jika soal meminta maksimum atau minimum mutlak pada interval tertutup, Anda harus membandingkan titik kritis dan titik ujung. Hanya memeriksa titik saat $f'(x)=0$ saja tidak cukup.

Untuk apa turunan digunakan

Turunan $f'(x)$ memberi tahu Anda bagaimana keluaran berubah ketika masukan berubah pada suatu titik tertentu. Gagasan tunggal ini muncul dalam beberapa tugas kalkulus yang umum.

• Dalam grafik, turunan memberikan kemiringan garis singgung.
• Dalam gerak, turunan dapat menyatakan kecepatan sebagai laju perubahan posisi.
• Dalam optimasi, turunan membantu menemukan titik saat suatu besaran berhenti naik lalu mulai turun, atau sebaliknya.

Konteksnya bisa berbeda dalam geometri, fisika, ekonomi, dan teknik, tetapi pertanyaan intinya tetap sama: bagaimana satu besaran merespons ketika besaran lain berubah?

Bagaimana turunan membantu mencari maksimum dan minimum

Maksimum lokal adalah titik saat nilai fungsi lebih tinggi daripada nilai-nilai di sekitarnya. Minimum lokal adalah titik saat nilainya lebih rendah daripada nilai-nilai di sekitarnya. Hal ini sering terjadi di titik kritis, yaitu titik saat $f'(x)=0$ atau saat $f'(x)$ tidak ada tetapi $f(x)$ masih terdefinisi.

Mengapa $f'(x)=0$ penting? Karena pada titik belok halus, garis singgungnya mendatar, sehingga kemiringannya adalah $0$.

Namun, tidak setiap titik kritis merupakan nilai ekstrem. Sebuah fungsi bisa mendatar lalu tetap bergerak ke arah umum yang sama. Itulah sebabnya Anda biasanya memeriksa apakah $f'(x)$ berubah tanda di sekitar titik tersebut:

• dari positif ke negatif: maksimum lokal
• dari negatif ke positif: minimum lokal

Jika fungsi dapat diturunkan dua kali di sekitar titik itu, turunan kedua juga bisa membantu:

• $f''(x) < 0$ menunjukkan grafik cekung ke bawah di sana, sehingga titik tersebut adalah maksimum lokal
• $f''(x) > 0$ menunjukkan grafik cekung ke atas di sana, sehingga titik tersebut adalah minimum lokal

Jalan pintas dengan turunan kedua hanya membantu jika turunan kedua ada dan tidak bernilai $0$ di titik kritis. Jika $f''(x)=0$, Anda memerlukan uji lain.

Contoh dikerjakan: menggunakan turunan untuk mencari tinggi maksimum

Misalkan tinggi sebuah bola dimodelkan oleh

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

dengan $h$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Model seperti ini hanya berguna pada interval waktu saat bola benar-benar masih berada di udara.

Langkah 1: Turunkan fungsinya

$$h'(t) = -10t + 20$$

Turunan ini adalah laju perubahan sesaat dari tinggi terhadap waktu. Dalam konteks ini, nilainya adalah kecepatan vertikal dalam meter per detik.

Langkah 2: Cari saat laju perubahannya nol

Samakan turunan dengan nol:

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

Saat $t=2$, kecepatan vertikal bernilai $0$. Ini menjadikannya kandidat maksimum atau minimum.

Langkah 3: Periksa apakah itu maksimum atau minimum

Sebelum $t=2$, turunan bernilai positif, sehingga tinggi bertambah. Setelah $t=2$, turunan bernilai negatif, sehingga tinggi berkurang.

Perubahan tanda itu berarti bola mencapai tinggi maksimum saat $t=2$.

Langkah 4: Hitung nilai fungsi asal

Substitusikan $t=2$ ke fungsi asal:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

Jadi, tinggi maksimumnya adalah $22$ meter.

Contoh ini menunjukkan dua penerapan utama sekaligus:

• $h'(t)$ memberikan laju perubahan
• menetapkan $h'(t)=0$ membantu menemukan kapan tinggi mencapai nilai terbesar

Kesalahan umum dalam penerapan turunan

1. Menganggap setiap solusi dari $f'(x)=0$ sebagai maksimum atau minimum tanpa memeriksa apa yang terjadi di sekitarnya.
2. Melupakan titik ujung ketika soal meminta maksimum atau minimum mutlak pada interval tertutup.
3. Tertukar antara fungsi asal dan turunannya. Turunan dapat memberi tahu di mana nilai ekstrem terjadi, tetapi nilai maksimum atau minimum yang sebenarnya berasal dari fungsi asal.
4. Mengabaikan satuan. Jika posisi dalam meter dan waktu dalam detik, maka turunannya dalam meter per detik.
5. Menggunakan model di luar interval saat model itu masih masuk akal secara fisik.

Di mana penerapan turunan digunakan

Dalam kalkulus awal, turunan digunakan untuk sketsa kurva, garis singgung, gerak, dan optimasi. Dalam sains dan teknik, turunan menggambarkan sistem yang berubah seperti kecepatan, percepatan, aliran panas, arus listrik, atau pertumbuhan. Dalam ekonomi, turunan dapat menggambarkan biaya marjinal atau pendapatan marjinal, yang juga merupakan laju perubahan.

Coba soal turunan serupa

Coba versi Anda sendiri dengan

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

Cari $f'(x)$, tentukan titik kritisnya, putuskan apakah itu maksimum atau minimum, lalu hitung nilai fungsi di titik tersebut. Jika Anda ingin mengeksplorasi kasus lain setelah itu, halaman tentang related rates menunjukkan bagaimana gagasan turunan yang sama bekerja ketika dua besaran yang berubah saling terkait.