Aplicaciones de las derivadas — máximos, mínimos y razón de cambio

Las aplicaciones de las derivadas suelen reducirse a dos ideas centrales: usar $f'(x)$ para medir una razón de cambio instantánea y usar $f'(x)$ para encontrar dónde una cantidad alcanza un máximo o un mínimo. Si un problema pregunta qué tan rápido está cambiando algo en este momento, o cuándo un valor es el más alto o el más bajo, la derivada suele ser la herramienta que necesitas.

Hay una condición importante desde el principio: si la pregunta pide un máximo o mínimo absoluto en un intervalo cerrado, debes comparar los puntos críticos y los extremos del intervalo. No basta con revisar solo dónde $f'(x)=0$.

Para qué se usan las derivadas

La derivada $f'(x)$ te dice cómo cambia la salida cuando cambia la entrada en un punto específico. Esa sola idea aparece en varias tareas comunes del cálculo.

• En términos de gráficas, da la pendiente de la recta tangente.
• En movimiento, puede dar la velocidad como razón de cambio de la posición.
• En optimización, ayuda a localizar los puntos donde una cantidad deja de aumentar y empieza a disminuir, o al revés.

El contexto cambia entre geometría, física, economía e ingeniería, pero la pregunta central sigue siendo la misma: ¿cómo responde una cantidad cuando cambia otra?

Cómo ayudan las derivadas a encontrar máximos y mínimos

Un máximo local es un punto donde la función es mayor que los valores cercanos. Un mínimo local es menor que los valores cercanos. Estos suelen ocurrir en puntos críticos, que son puntos donde $f'(x)=0$ o donde $f'(x)$ no existe mientras que $f(x)$ sigue estando definida.

¿Por qué importa que $f'(x)=0$? Porque en un punto de giro suave, la tangente es horizontal, así que la pendiente es $0$.

Aun así, no todo punto crítico es un extremo. Una función puede aplanarse y seguir moviéndose en la misma dirección general. Por eso normalmente se revisa si $f'(x)$ cambia de signo alrededor del punto:

• de positivo a negativo: máximo local
• de negativo a positivo: mínimo local

Si la función es dos veces derivable cerca del punto, la segunda derivada también puede ayudar:

• $f''(x) < 0$ sugiere que la gráfica es cóncava hacia abajo allí, así que el punto es un máximo local
• $f''(x) > 0$ sugiere que la gráfica es cóncava hacia arriba allí, así que el punto es un mínimo local

El atajo de la segunda derivada solo ayuda cuando existe y no es $0$ en el punto crítico. Si $f''(x)=0$, necesitas otra prueba.

Ejemplo resuelto: usar derivadas para encontrar una altura máxima

Supón que la altura de una pelota está modelada por

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

donde $h$ está en metros y $t$ en segundos. Este tipo de modelo solo es útil en el intervalo de tiempo en el que la pelota realmente está en el aire.

Paso 1: Derivar la función

$$h'(t) = -10t + 20$$

Esta derivada es la razón de cambio instantánea de la altura con respecto al tiempo. En este contexto, es la velocidad vertical en metros por segundo.

Paso 2: Encontrar cuándo la razón de cambio es cero

Iguala la derivada a cero:

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

En $t=2$, la velocidad vertical es $0$. Eso lo convierte en un candidato a máximo o mínimo.

Paso 3: Comprobar si es un máximo o un mínimo

Antes de $t=2$, la derivada es positiva, así que la altura está aumentando. Después de $t=2$, la derivada es negativa, así que la altura está disminuyendo.

Ese cambio de signo significa que la pelota alcanza una altura máxima en $t=2$.

Paso 4: Evaluar la función original

Sustituye $t=2$ en la función original:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

Así que la altura máxima es $22$ metros.

Este ejemplo muestra a la vez las dos aplicaciones principales:

• $h'(t)$ da una razón de cambio
• igualar $h'(t)=0$ ayuda a encontrar cuándo la altura es máxima

Errores comunes en las aplicaciones de las derivadas

1. Tratar toda solución de $f'(x)=0$ como un máximo o un mínimo sin revisar qué ocurre a su alrededor.
2. Olvidar los extremos del intervalo cuando la pregunta pide un máximo o mínimo absoluto en un intervalo cerrado.
3. Confundir la función original con su derivada. La derivada puede decirte dónde ocurre el extremo, pero el valor máximo o mínimo real sale de la función original.
4. Ignorar las unidades. Si la posición está en metros y el tiempo en segundos, entonces la derivada está en metros por segundo.
5. Usar un modelo fuera del intervalo donde tiene sentido físico.

Dónde se usan las aplicaciones de las derivadas

En cálculo inicial, las derivadas se usan para el trazado de curvas, rectas tangentes, movimiento y optimización. En ciencia e ingeniería, describen sistemas cambiantes como velocidad, aceleración, flujo de calor, corriente o crecimiento. En economía, pueden describir el costo marginal o el ingreso marginal, que también son razones de cambio.

Prueba un problema similar de derivadas

Prueba tu propia versión con

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

Halla $f'(x)$, localiza el punto crítico, decide si es un máximo o un mínimo y luego calcula allí el valor de la función. Si después quieres explorar otro caso, la página sobre related rates muestra cómo funciona la misma idea de derivada cuando dos cantidades que cambian están relacionadas.