도함수의 활용 — 최댓값, 최솟값과 변화율

도함수의 활용은 보통 두 가지 핵심 아이디어로 정리됩니다. 하나는 $f'(x)$를 이용해 순간변화율을 구하는 것이고, 다른 하나는 $f'(x)$를 이용해 어떤 양이 최댓값이나 최솟값에 도달하는 지점을 찾는 것입니다. 어떤 것이 지금 얼마나 빠르게 변하는지, 또는 값이 언제 가장 크거나 가장 작은지를 묻는 문제라면 보통 도함수가 필요한 도구입니다.

처음부터 중요한 조건이 하나 있습니다. 닫힌구간에서 절대최댓값이나 절대최솟값을 묻는다면, 임계점과 구간의 끝점을 모두 비교해야 합니다. $f'(x)=0$인 곳만 확인해서는 충분하지 않습니다.

도함수는 어디에 쓰이나요

도함수 $f'(x)$는 입력값이 변할 때 출력값이 특정 점에서 어떻게 변하는지를 알려줍니다. 이 한 가지 아이디어가 미적분의 여러 대표적인 문제에 나타납니다.

• 그래프에서는 접선의 기울기를 줍니다.
• 운동에서는 위치의 변화율로서 속도를 나타낼 수 있습니다.
• 최적화에서는 어떤 양이 증가하다가 감소로 바뀌는 지점, 또는 그 반대가 되는 지점을 찾는 데 도움이 됩니다.

기하, 물리, 경제, 공학처럼 맥락은 달라져도 핵심 질문은 같습니다. 한 양이 변할 때 다른 양은 어떻게 반응하는가입니다.

도함수로 최댓값과 최솟값을 찾는 방법

국소최댓값은 함수값이 주변의 값들보다 큰 점입니다. 국소최솟값은 주변의 값들보다 작은 점입니다. 이런 값들은 보통 임계점에서 나타나는데, 임계점이란 $f'(x)=0$이거나 $f(x)$는 정의되어 있지만 $f'(x)$는 존재하지 않는 점을 말합니다.

왜 $f'(x)=0$이 중요할까요? 매끄럽게 방향이 바뀌는 점에서는 접선이 수평이므로 기울기가 $0$이기 때문입니다.

하지만 모든 임계점이 극값은 아닙니다. 함수가 잠시 평평해진 뒤에도 전체적으로 같은 방향으로 계속 갈 수 있습니다. 그래서 보통 그 점 주변에서 $f'(x)$의 부호가 바뀌는지 확인합니다.

• 양수에서 음수로 바뀌면: 국소최댓값
• 음수에서 양수로 바뀌면: 국소최솟값

함수가 그 점 근처에서 두 번 미분 가능하다면 이계도함수도 도움이 됩니다.

• $f''(x) < 0$이면 그래프가 아래로 오목하므로 그 점은 국소최댓값일 가능성이 큽니다
• $f''(x) > 0$이면 그래프가 위로 오목하므로 그 점은 국소최솟값일 가능성이 큽니다

이계도함수 판정은 이계도함수가 존재하고, 임계점에서 그 값이 $0$이 아닐 때만 바로 쓸 수 있습니다. $f''(x)=0$이면 다른 판정이 필요합니다.

예제: 도함수로 최고 높이 구하기

공의 높이가 다음과 같이 주어진다고 합시다.

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 2$$

여기서 $h$는 미터, $t$는 초 단위입니다. 이런 모델은 공이 실제로 공중에 떠 있는 시간 구간에서만 의미가 있습니다.

1단계: 함수를 미분하기

$$h'(t) = -10t + 20$$

이 도함수는 시간에 대한 높이의 순간변화율입니다. 이 맥락에서는 초당 미터 단위의 수직속도입니다.

2단계: 변화율이 0이 되는 때 찾기

도함수를 0과 같게 놓습니다.

$$-10t + 20 = 0$$ $$t = 2$$

$t=2$일 때 수직속도는 $0$입니다. 따라서 이 점은 최댓값이나 최솟값의 후보입니다.

3단계: 최댓값인지 최솟값인지 확인하기

$t=2$ 이전에는 도함수가 양수이므로 높이가 증가합니다. $t=2$ 이후에는 도함수가 음수이므로 높이가 감소합니다.

이 부호 변화는 공이 $t=2$에서 최고 높이에 도달한다는 뜻입니다.

4단계: 원래 함수값 계산하기

원래 함수에 $t=2$를 대입합니다.

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$$

따라서 최고 높이는 $22$미터입니다.

이 예제는 도함수의 두 가지 핵심 활용을 동시에 보여줍니다.

• $h'(t)$는 변화율을 줍니다
• $h'(t)=0$으로 놓으면 높이가 가장 큰 때를 찾는 데 도움이 됩니다

도함수 활용에서 자주 하는 실수

1. $f'(x)=0$의 모든 해를 주변 확인 없이 최댓값이나 최솟값으로 취급하는 것
2. 닫힌구간에서 절대최댓값이나 절대최솟값을 묻는데 끝점을 빼먹는 것
3. 원래 함수와 도함수를 혼동하는 것. 도함수는 극값이 일어나는 위치를 알려주지만, 실제 최댓값이나 최솟값은 원래 함수에서 구해야 합니다.
4. 단위를 무시하는 것. 위치가 미터이고 시간이 초라면 도함수의 단위는 초당 미터입니다.
5. 물리적으로 의미가 있는 구간 밖에서 모델을 사용하는 것

도함수의 활용은 어디에서 쓰이나요

초기 미적분에서는 도함수를 곡선 개형 그리기, 접선, 운동, 최적화에 사용합니다. 과학과 공학에서는 속도, 가속도, 열의 흐름, 전류, 성장처럼 변하는 시스템을 설명합니다. 경제학에서는 한계비용이나 한계수입처럼 역시 변화율인 개념을 설명하는 데 쓰일 수 있습니다.

비슷한 도함수 문제를 직접 풀어보세요

다음 함수를 가지고 직접 해보세요.

$$f(x) = -2x^2 + 8x + 3.$$

$f'(x)$를 구하고, 임계점을 찾고, 그것이 최댓값인지 최솟값인지 판단한 뒤, 그 점에서의 함수값을 계산해 보세요. 그다음 다른 경우도 살펴보고 싶다면, 관련률 페이지에서 두 개의 변하는 양이 연결되어 있을 때 같은 도함수 아이디어가 어떻게 쓰이는지 볼 수 있습니다.