Taux liés

En calcul différentiel, les taux liés consistent à déterminer à quelle vitesse une quantité varie en utilisant sa relation avec une autre quantité dont on connaît déjà le taux de variation. L’idée clé est simple : écrire l’équation qui relie les variables, dériver par rapport au temps, puis évaluer à l’instant précis demandé dans le problème.

Si $y$ dépend de $x$ et que $x$ dépend de $t$, alors, en supposant que ces fonctions sont dérivables,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Cette règle de la chaîne est le moteur des taux liés. La différence, c’est que le problème part généralement d’une situation géométrique ou physique, et non d’une fonction déjà donnée.

Ce que signifient les taux liés

Les taux sont liés parce que les variables le sont. Si le rayon d’un cercle change, son aire change aussi. Si la longueur de l’arête d’un cube change, son volume change aussi. L’équation qui relie les quantités indique comment un taux influence l’autre au même instant.

Le schéma général est le suivant :

1. Définir les variables.
2. Écrire l’équation qui les relie.
3. Dériver par rapport au temps $t$.
4. Remplacer par les valeurs correspondant à l’instant qui vous intéresse.
5. Résoudre pour le taux inconnu.

Pourquoi il faut dériver avant de remplacer par des nombres

Dans un problème de taux liés, les variables sont des fonctions du temps qui varient, même si l’équation ne fait pas apparaître $t$ explicitement. C’est pourquoi

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

et pas simplement $2r$.

Si vous remplacez par un nombre trop tôt, vous pouvez faire disparaître une variable qui varie encore avant que sa dérivée n’apparaisse. Dans des cas simples, vous pouvez quand même tomber sur la bonne réponse par chance, mais la méthode n’est pas fiable.

Exemple résolu : aire d’un cercle qui grandit

Supposons que le rayon d’un cercle augmente au taux de

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

À quelle vitesse l’aire augmente-t-elle lorsque $r = 5$ cm ?

On part de la formule de l’aire :

$$A = \pi r^2$$

Dérivons les deux membres par rapport au temps :

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Remplaçons maintenant par les valeurs à l’instant donné, $r = 5$ et $\frac{dr}{dt} = 3$ :

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Donc l’aire augmente au taux de

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

Les unités sont importantes. Le rayon se mesure en centimètres, donc l’aire varie en centimètres carrés par seconde.

Pourquoi cet exemple fonctionne

La formule de départ reliait $A$ et $r$, pas $A$ et $t$. Le temps n’intervient qu’au moment de la dérivation. C’est le cœur des taux liés : traiter chaque quantité variable comme une fonction du temps, même si l’équation d’origine semble purement géométrique.

C’est aussi pour cela que les taux liés font souvent appel à la dérivation implicite. Vous dérivez une équation comportant plusieurs variables liées, et chaque variable qui varie peut produire son propre terme de taux.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de taux liés

1. Remplacer par des valeurs avant de dériver.
2. Oublier qu’une variable comme $r$ ou $y$ dépend du temps.
3. Utiliser le mauvais instant. Le problème demande un moment précis, pas une variation moyenne générale.
4. Ignorer les unités ou les signes. Une quantité qui diminue doit généralement produire un taux négatif.
5. Écrire une formule qui ne correspond pas à la géométrie ou à la situation physique.

Quand utiliser les problèmes de taux liés

Les taux liés apparaissent dès que deux quantités variables restent reliées par une règle.

Cas courants :

1. En géométrie, par exemple avec des cercles, des sphères, des cônes et des échelles.
2. En physique, lorsque la position, la vitesse et d’autres quantités varient ensemble.
3. En ingénierie ou en chimie, lorsqu’une grandeur mesurée dépend d’une autre qui varie au cours du temps.

La méthode ne fonctionne que tant que la relation que vous avez écrite reste valable pour la situation. Si le modèle change, l’équation des taux peut changer elle aussi.

Une liste de vérification rapide pour les taux liés

Posez-vous trois questions :

1. Ai-je écrit la relation avant de dériver ?
2. Chaque variable qui varie a-t-elle produit un terme de taux lorsque j’ai dérivé par rapport à $t$ ?
3. Les unités finales ont-elles du sens ?

Cette courte vérification permet de repérer une grande partie des erreurs dans les problèmes de taux liés.

Essayez votre propre version

Reprenez le même exemple du cercle, mais changez le taux en $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s et évaluez-le lorsque $r = 8$ cm. Ensuite, essayez une version avec le volume d’une sphère et remarquez comment le passage de $r^2$ à $r^3$ modifie la formule finale du taux. Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version dans un solveur seulement après avoir écrit la relation et effectué vous-même la dérivation.