Puntuación z — Cómo calcularla

Una puntuación z te dice qué tan lejos está un valor de la media en unidades de desviación estándar. Eso la hace útil cuando quieres comparar una puntuación con el resto de un grupo, y no solo leer el número bruto por sí solo.

La fórmula básica es

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

donde $x$ es el valor, $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar.

Si $z$ es positiva, el valor está por encima de la media. Si $z$ es negativa, el valor está por debajo de la media. Si $z = 0$, el valor está exactamente en la media.

Cómo calcular una puntuación z

Sigue estos pasos:

1. Empieza con el valor $x$.
2. Resta la media.
3. Divide entre la desviación estándar.

Eso es todo lo que hace el cálculo: convertir una distancia bruta respecto de la media en una distancia estandarizada.

Qué significa la fórmula de forma intuitiva

El numerador $x - \mu$ te dice qué tan lejos está el valor del centro. El denominador $\sigma$ reescala esa distancia según la dispersión típica de los datos.

Así que una puntuación z no solo dice “esta puntuación está 14 puntos por encima del promedio”. Dice si 14 puntos es una diferencia pequeña o grande para ese conjunto de datos en particular.

Ejemplo resuelto

Supón que una puntuación de examen es $84$, la media de la clase es $70$ y la desviación estándar es $7$.

Sustituye esos números en la fórmula:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

Primero resta:

$$84 - 70 = 14$$

Luego divide:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

La puntuación z es $2$. Eso significa que la puntuación está $2$ desviaciones estándar por encima de la media.

Una forma rápida de leer la respuesta

• $z = 1$ significa una desviación estándar por encima de la media.
• $z = -1.5$ significa una desviación estándar y media por debajo de la media.
• Un valor absoluto mayor, como $|z| = 3$, significa que el valor está relativamente lejos de la media.

Esta interpretación solo funciona en relación con la media y la desviación estándar que usaste. Si cambian, la puntuación z también cambia.

Errores comunes

Un error común es dividir entre la varianza en lugar de la desviación estándar. Una puntuación z usa la desviación estándar, no la varianza.

Otro error es ignorar el signo. Una puntuación z de $-2$ no es lo mismo que $2$. La primera está por debajo de la media y la segunda por encima.

También es fácil mezclar datos de grupos distintos. Una puntuación puede tener una puntuación z en una clase y una puntuación z diferente en otra si cambian la media o la desviación estándar.

Cuándo se usan las puntuaciones z

Las puntuaciones z son útiles cuando quieres comparar valores de escalas diferentes, detectar observaciones inusualmente altas o bajas, o relacionar datos brutos con un modelo de distribución normal.

Ese último uso necesita una condición: convertir una puntuación z en una probabilidad tiene más sentido cuando un modelo normal es apropiado, o cuando el problema te indica explícitamente que uses uno.

Valores poblacionales vs. muestrales

En muchas fórmulas de estadística, la puntuación z se escribe con símbolos poblacionales:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Si solo tienes una media muestral $\bar{x}$ y una desviación estándar muestral $s$, a menudo se estandariza con

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

El paso de cálculo es el mismo, pero la interpretación depende de si esos valores describen una población completa o solo una muestra.

Prueba tu propia versión

Elige cualquier valor, media y desviación estándar, luego calcula la puntuación z y explica el resultado con palabras. Si quieres un siguiente caso útil, resuelve un problema parecido en el que la puntuación z salga negativa y comprueba que tu interpretación siga coincidiendo con el signo.