最大公約数（GCF）とは？求め方をわかりやすく解説

最大公約数（GCF）とは、2つ以上の整数を余りなく割り切れる正の整数のうち、最も大きい数のことです。たとえば $18$ と $24$ の最大公約数は $6$ です。$6$ は両方をちょうど割り切れ、これより大きい整数で両方を割り切れるものはありません。

最大公約数は、約数を書き出して求める方法と、素因数分解を使う方法で求められます。小さい数なら、約数を書き出すほうがたいてい速いです。数が大きいときは、素因数分解のほうが整理しやすいことが多いです。

最大公約数の意味

約数とは、ある整数を余りなく割り切れる整数のことです。公約数とは、複数の数に共通する約数です。最大公約数は、その中でいちばん大きいものを指します。

そのため、最大公約数はグループ分けの問題や分数の約分でよく使われます。学校数学では、正の整数については GCF と greatest common divisor は同じ意味で使われることが多いです。

最大公約数の求め方

1. 約数を書き出す

それぞれの数の約数をすべて書き出し、両方の一覧にある中で最も大きいものを探します。

$18$ の約数は次のとおりです。

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

$24$ の約数は次のとおりです。

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

両方の一覧にある最大の約数は $6$ です。

2. 素因数分解を使う

それぞれの数を素因数に分解し、両方に共通する素因数だけを残します。共通する素因数が複数回現れるときは、小さいほうの指数を使います。その共通部分の積が最大公約数です。

例題：18と24の最大公約数

$18$ と $24$ の最大公約数を、素因数分解を使って求めます。

まず、それぞれを素因数分解します。

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

次に、両方に共通する素因数だけを、それぞれ小さいほうの指数で残します。共通しているのは $2$ が1つと $3$ が1つです。

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

したがって、

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

簡単に確かめることもできます。$18 \div 6$ も $24 \div 6$ も整数になり、次に大きい候補である $12$ は $18$ を割り切れません。

最大公約数でよくある間違い

よくある間違いの1つは、途中で止めてしまうことです。$18$ と $24$ では、$2$ も $3$ も公約数ですが、どちらも最大ではありません。

もう1つの間違いは、約数と倍数を混同することです。最大公約数では、両方の数をちょうど割り切れる数を探します。元の数を大きくしてできる数を探すわけではありません。

また、素因数分解を使うときに、共通する素因数を落としてしまうこともあります。ある素因数が両方の数に含まれていれば、それは最大公約数に入ります。ただし、使うのは小さいほうの指数までです。

最大公約数を使う場面

最大公約数は、分数を約分したいとき、ものをできるだけ大きい同じ数のグループに分けたいとき、また複数の長さをちょうど割り切れる最大の単位を求めたいときに特に役立ちます。

たとえば、$\frac{18}{24}$ を約分するときは、分子と分母を最大公約数 $6$ で割ります。

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

似た問題に挑戦してみよう

$20$ と $30$ の最大公約数を、まず約数を書き出して求め、次に素因数分解でも求めてみましょう。どちらの方法でも同じ答えになれば、考え方がしっかりつかめています。