최대공약수(GCF) 구하는 법

최대공약수(GCF)는 둘 이상의 자연수를 나누었을 때 나머지가 없이 모두 정확히 나누어떨어지는 가장 큰 양의 정수입니다. 예를 들어 $18$과 $24$의 최대공약수는 $6$인데, $6$이 두 수를 모두 정확히 나누고 그보다 큰 어떤 정수도 두 수를 동시에 나누지 못하기 때문입니다.

최대공약수는 약수를 나열해서 찾거나 소인수분해를 이용해 찾을 수 있습니다. 수가 작을 때는 보통 나열하는 방법이 가장 빠릅니다. 수가 커질수록 소인수분해가 더 깔끔한 경우가 많습니다.

최대공약수의 뜻

약수는 어떤 정수를 나머지 없이 정확히 나누는 정수입니다. 공약수는 여러 수가 공통으로 가지는 약수입니다. 최대공약수는 그중 가장 큰 값입니다.

그래서 최대공약수는 묶음으로 나누는 문제나 분수를 약분할 때 자주 등장합니다. 학교 수학에서는 양의 정수에 대해 GCF와 greatest common divisor를 같은 뜻으로 쓰는 경우가 많습니다.

최대공약수 구하는 방법

1. 약수 나열하기

각 수의 약수를 모두 쓴 뒤, 두 목록에 공통으로 있는 수 중 가장 큰 수를 찾습니다.

$18$의 약수는 다음과 같습니다:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

$24$의 약수는 다음과 같습니다:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

두 목록에 공통으로 있는 가장 큰 약수는 $6$입니다.

2. 소인수분해 이용하기

각 수를 소인수로 분해한 뒤, 두 수에 공통으로 들어 있는 소인수만 남깁니다. 공통인 소인수가 여러 번 나오면 더 작은 지수를 사용합니다. 그렇게 얻은 공통 소인수의 곱이 최대공약수입니다.

풀이 예시: $18$과 $24$의 최대공약수

소인수분해를 이용해 $18$과 $24$의 최대공약수를 구해 봅시다.

먼저 각 수를 소인수분해합니다:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

이제 두 수에 공통으로 있는 소수만 남기고, 각 공통 소수에는 더 작은 지수를 사용합니다. 두 수에는 공통으로 $2$가 하나, $3$이 하나 있습니다:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

따라서:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

간단히 확인해 볼 수도 있습니다. $18 \div 6$과 $24 \div 6$은 모두 정수이고, 그다음으로 큰 후보인 $12$는 $18$을 나누지 못합니다.

최대공약수에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 너무 일찍 멈추는 것입니다. $18$과 $24$의 경우 $2$와 $3$은 모두 공약수이지만, 둘 다 최대공약수는 아닙니다.

또 다른 실수는 약수와 배수를 헷갈리는 것입니다. 최대공약수는 두 수를 정확히 나누는 수를 찾는 것입니다. 원래 수를 곱해서 만들 수 있는 수를 찾는 것이 아닙니다.

또 소인수분해를 할 때 공통 소인수를 빠뜨리는 경우도 있습니다. 어떤 소수가 두 수에 모두 나타나면 최대공약수에 포함되어야 하지만, 지수는 더 작은 쪽까지만 사용합니다.

최대공약수를 사용하는 경우

최대공약수는 분수를 약분하거나, 물건을 가장 크게 같은 수로 묶거나, 여러 길이를 정확히 나눌 수 있는 가장 큰 단위를 찾을 때 특히 유용합니다.

예를 들어 $\frac{18}{24}$를 약분하려면 분자와 분모를 최대공약수인 $6$으로 나누면 됩니다:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

비슷한 문제 풀어 보기

$20$과 $30$의 최대공약수를 먼저 약수 나열로 구해 보고, 그다음 소인수분해로도 구해 보세요. 두 방법의 답이 같다면 개념을 제대로 이해한 것입니다.