Máximo Fator Comum (MFC) — Como Encontrar

O máximo fator comum, ou MFC, é o maior número inteiro positivo que divide cada um de dois ou mais números inteiros sem deixar resto. Se você precisa do MFC de $18$ e $24$, a resposta é $6$ porque $6$ divide os dois números exatamente e nenhum número inteiro maior faz isso.

Você pode encontrar o MFC listando os fatores ou usando a fatoração em primos. Listar costuma ser mais rápido para números pequenos. A fatoração em primos geralmente é mais organizada quando os números são maiores.

Significado de Máximo Fator Comum

Um fator é um número inteiro que divide outro número inteiro exatamente. Um fator comum é um fator que os números têm em comum. O máximo fator comum é o maior deles.

É por isso que o MFC aparece em problemas de agrupamento e na simplificação de frações. Em muitos contextos escolares, MFC e máximo divisor comum significam a mesma coisa para inteiros positivos.

Como Encontrar o MFC

1. Liste os Fatores

Escreva todos os fatores de cada número e depois procure o maior que aparece nas duas listas.

Para $18$, os fatores são:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Para $24$, os fatores são:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

O maior fator nas duas listas é $6$.

2. Use a Fatoração em Primos

Decomponha cada número em fatores primos e depois mantenha apenas os fatores primos que os dois números têm em comum. Se um primo em comum aparecer mais de uma vez, use o menor expoente. Esse produto em comum é o MFC.

Exemplo Resolvido: MFC de 18 e 24

Encontre o MFC de $18$ e $24$ usando fatoração em primos.

Primeiro, fatore cada número:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

Agora mantenha apenas os primos que os dois números têm em comum, usando o menor expoente para cada primo compartilhado. Os dois números têm um $2$ em comum e um $3$ em comum:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

Então:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

Uma verificação rápida confirma isso. Tanto $18 \div 6$ quanto $24 \div 6$ são números inteiros, e o próximo candidato maior, $12$, não divide $18$.

Erros Comuns com MFC

Um erro comum é parar cedo demais. Para $18$ e $24$, tanto $2$ quanto $3$ são fatores comuns, mas nenhum deles é o maior.

Outro erro é confundir fatores com múltiplos. O MFC procura números que dividem os dois valores exatamente. Ele não procura números nos quais os valores originais podem se transformar ao crescer.

Os alunos também às vezes deixam de considerar fatores primos em comum ao usar a fatoração. Se um primo aparece nos dois números, ele faz parte do MFC, mas apenas até o menor expoente.

Quando Você Usa o Máximo Fator Comum

O MFC é especialmente útil quando você quer simplificar frações, dividir itens em grupos iguais do maior tamanho possível ou encontrar a maior unidade de medida que se ajusta exatamente a várias medidas.

Por exemplo, simplificar $\frac{18}{24}$ começa dividindo numerador e denominador pelo MFC deles, que é $6$:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Tente um Problema Parecido

Tente encontrar o MFC de $20$ e $30$ primeiro listando os fatores e depois usando fatoração em primos. Se os dois métodos derem a mesma resposta, a ideia ficou clara.