ตัวประกอบร่วมมาก (GCF) — หาอย่างไร

ตัวประกอบร่วมมาก หรือ GCF คือจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหารจำนวนเต็มตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปได้ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ ถ้าต้องการหา GCF ของ $18$ และ $24$ คำตอบคือ $6$ เพราะ $6$ หารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และไม่มีจำนวนเต็มที่มากกว่านี้ที่ทำได้

คุณสามารถหา GCF ได้โดยการไล่ตัวประกอบ หรือใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ การไล่ตัวประกอบมักเร็วที่สุดเมื่อเป็นจำนวนน้อย ๆ ส่วนการแยกตัวประกอบเฉพาะมักดูเป็นระเบียบกว่าเมื่อจำนวนมีค่ามากขึ้น

ความหมายของตัวประกอบร่วมมาก

ตัวประกอบ คือจำนวนเต็มที่หารจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งได้ลงตัว ตัวประกอบร่วม คือตัวประกอบที่หลายจำนวนมีร่วมกัน และตัวประกอบร่วมมาก คือค่าที่มากที่สุดในบรรดาตัวประกอบร่วมเหล่านั้น

จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม GCF จึงมักปรากฏในโจทย์การจัดกลุ่มและการย่อเศษส่วน ในบริบทการเรียนทั่วไป GCF และตัวหารร่วมมากมักหมายถึงแนวคิดเดียวกันสำหรับจำนวนเต็มบวก

วิธีหา GCF

1. ไล่ตัวประกอบ

เขียนตัวประกอบทั้งหมดของแต่ละจำนวน แล้วมองหาค่าที่มากที่สุดที่ปรากฏอยู่ในทั้งสองรายการ

สำหรับ $18$ ตัวประกอบคือ:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

สำหรับ $24$ ตัวประกอบคือ:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

ตัวประกอบที่มากที่สุดที่อยู่ในทั้งสองรายการคือ $6$

2. ใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ

แยกแต่ละจำนวนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ แล้วเก็บไว้เฉพาะตัวประกอบเฉพาะที่ทั้งสองจำนวนมีร่วมกัน ถ้าตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกันปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง ให้ใช้เลขชี้กำลังที่น้อยกว่า ผลคูณของส่วนที่ร่วมกันนั้นคือ GCF

ตัวอย่างทำโจทย์: GCF ของ 18 และ 24

หา GCF ของ $18$ และ $24$ โดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ

เริ่มจากแยกตัวประกอบของแต่ละจำนวน:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

จากนั้นเก็บไว้เฉพาะจำนวนเฉพาะที่ทั้งสองจำนวนมีร่วมกัน โดยใช้เลขชี้กำลังที่น้อยกว่าสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะที่ร่วมกัน ทั้งสองจำนวนมี $2$ ร่วมกันหนึ่งตัว และมี $3$ ร่วมกันหนึ่งตัว:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

ดังนั้น:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

ตรวจสอบอย่างรวดเร็วก็ยืนยันได้ ทั้ง $18 \div 6$ และ $24 \div 6$ เป็นจำนวนเต็ม และตัวเลือกถัดไปที่มากกว่าอย่าง $12$ ไม่สามารถหาร $18$ ได้ลงตัว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับ GCF

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือหยุดเร็วเกินไป สำหรับ $18$ และ $24$ ทั้ง $2$ และ $3$ เป็นตัวประกอบร่วม แต่ทั้งคู่ยังไม่ใช่ค่าที่มากที่สุด

อีกข้อผิดพลาดคือสับสนระหว่างตัวประกอบกับพหุคูณ GCF มองหาจำนวนที่หารทั้งสองค่าได้ลงตัว ไม่ได้มองหาจำนวนที่ค่าต้นฉบับสามารถเพิ่มไปเป็นได้

นักเรียนบางคนยังพลาดตัวประกอบเฉพาะที่ร่วมกันเมื่อใช้การแยกตัวประกอบ ถ้าจำนวนเฉพาะตัวใดปรากฏอยู่ในทั้งสองจำนวน มันต้องอยู่ใน GCF ด้วย แต่ใช้ได้เพียงถึงเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า

คุณใช้ตัวประกอบร่วมมากเมื่อไร

GCF มีประโยชน์มากเมื่อคุณต้องการย่อเศษส่วน แบ่งสิ่งของออกเป็นกลุ่มเท่า ๆ กันที่ใหญ่ที่สุด หรือหาขนาดหน่วยที่มากที่สุดซึ่งพอดีกับการวัดหลายค่าแบบลงตัว

ตัวอย่างเช่น การย่อ $\frac{18}{24}$ เริ่มจากหารทั้งเศษและส่วนด้วย GCF ของมัน ซึ่งคือ $6$:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองหา GCF ของ $20$ และ $30$ โดยเริ่มจากการไล่ตัวประกอบ แล้วค่อยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ ถ้าทั้งสองวิธีได้คำตอบเดียวกัน แสดงว่าคุณเข้าใจแนวคิดนี้แล้ว