维恩图——集合、交集与并集

维恩图用重叠区域来表示集合。它能帮助你看清哪些元素只属于一个集合，哪些是两个集合共有的，以及哪些不在这两个集合中但仍在全集内。

对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，最重要的是两个概念：

如果题目涉及有重叠的类别，那么在开始计算之前，维恩图通常是整理信息最快的方法。

如何读懂维恩图的各个部分

对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，一个基本的维恩图有四个常见区域：

重叠部分是学生最容易放错的位置。如果一个元素同时属于两个集合，它不应该分别放进两个圆里。它只出现一次，放在中间共享的重叠区域。

这也是维恩图能帮助避免重复计数的原因。

主要的集合运算都对应图中的可见区域：

最后这一项取决于全集。如果 $U$ 改变了，补集也可能随之改变。

对于有限集合的计数问题，关键公式是：

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

这里的 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数。之所以要减去一次交集，是因为这些元素已经在 $|A|$ 和 $|B|$ 中各被算过一次。

假设一个班有 $30$ 名学生。

设 $A$ 为美术社的集合， $B$ 为国际象棋社的集合。

先看重叠部分：

|A \cap B| = 5

再填写不重叠的部分：

\text{only }A = 18 - 5 = 13

\text{only }B = 12 - 5 = 7

所以，至少参加这两个社团中一个的学生人数是：

|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25

那么剩下的就是：

\text{neither} = 30 - 25 = 5

这个题对应的维恩图应当显示：

这一张图就能同时回答好几个问题：两个社团都参加的人数、恰好参加一个社团的人数、至少参加一个社团的人数，以及两个社团都不参加的人数。

如果有 $5$ 名学生同时在两个组里，不要把这 $5$ 分别放进 $A$ 和 $B$ 各一次。应把它放在共享区域，然后在填写外侧部分时从各自总数中减去它。

并集表示属于任一集合的所有元素。交集只表示两个集合共有的部分。如果题目说“都属于”或“同时属于”，问的就是重叠部分，而不是两个圆全部阴影区域。

像“都不属于”这样的词，或像 $A^c$ 这样的记号，都需要先明确全集。没有 $U$ ，外部区域就没有被完整定义。

在很多学校题目里，维恩图只是一个逻辑示意图。除非题目特别说明，否则圆的大小通常并不表示精确数量。

当题目中有彼此重叠的类别时，维恩图最有用。这包括基础集合论、计数问题、调查结果，以及由 $A \cup B$ 和 $A \cap B$ 这类事件构成的概率问题。

它在逻辑中也很有用，因为图中的区域可以表示命题或类别。维恩图真正的价值不在于圆本身，而在于它能帮助你在求解前先分清“只在这里”“只在那里”和“两边都有”。

你可以自己试试这道题：一个班有 $28$ 名学生，其中 $16$ 人在一个小组， $11$ 人在另一个小组， $4$ 人两个小组都在。先填重叠部分，再求两个不重叠区域、并集，以及两个小组都不参加的人数。

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