Diagramy Venna — zbiory, część wspólna i suma

Diagram Venna przedstawia zbiory jako nachodzące na siebie obszary. Pomaga zobaczyć, co należy tylko do jednego zbioru, co jest wspólne oraz co leży poza oboma zbiorami, ale nadal wewnątrz zbioru uniwersalnego.

Dla dwóch zbiorów $A$ i $B$ najważniejsze są dwie idee:

• część wspólna $A \cap B$ to obszar nakładania się
• suma $A \cup B$ to wszystko, co należy do co najmniej jednego zbioru

Jeśli zadanie dotyczy kategorii, które się pokrywają, diagram Venna jest często najszybszym sposobem uporządkowania informacji przed rozpoczęciem obliczeń.

Jak odczytywać każdą część diagramu Venna

Dla dwóch zbiorów $A$ i $B$ podstawowy diagram Venna ma cztery użyteczne obszary:

• tylko w $A$
• tylko w $B$
• jednocześnie w $A$ i $B$
• w żadnym z tych zbiorów, ale nadal w zbiorze uniwersalnym $U$

Obszar wspólny to miejsce, które uczniowie najczęściej zaznaczają błędnie. Jeśli element należy do obu zbiorów, nie wpisuje się go osobno do każdego koła. Umieszcza się go raz, w środkowym wspólnym obszarze.

Właśnie dlatego diagramy Venna pomagają uniknąć podwójnego liczenia.

Co oznaczają część wspólna, suma i dopełnienie

Główne działania na zbiorach odpowiadają widocznym częściom diagramu:

• $A \cap B$: tylko część wspólna
• $A \cup B$: wszystko objęte przez co najmniej jedno koło
• $A^c$: wszystko w $U$, co nie należy do $A$

To ostatnie zależy od zbioru uniwersalnego. Jeśli $U$ się zmienia, dopełnienie też może się zmienić.

W zadaniach na liczenie dla zbiorów skończonych kluczowa jest zasada:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Tutaj $|A|$ oznacza liczbę elementów w zbiorze $A$. Odejmujesz część wspólną jeden raz, ponieważ te elementy zostały policzone zarówno w $|A|$, jak i w $|B|$.

Przykład rozwiązany: uczniowie w dwóch kołach zainteresowań

Załóżmy, że klasa liczy $30$ uczniów.

• $18$ należy do koła plastycznego
• $12$ należy do koła szachowego
• $5$ należy do obu kół

Niech $A$ oznacza zbiór uczniów z koła plastycznego, a $B$ zbiór uczniów z koła szachowego.

Zacznij od części wspólnej:

$$|A \cap B| = 5$$

Teraz uzupełnij części, które się nie nakładają:

$$\text{tylko }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{tylko }B = 12 - 5 = 7$$

Zatem liczba uczniów należących do co najmniej jednego z tych dwóch kół wynosi:

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

Pozostaje więc:

$$\text{żaden} = 30 - 25 = 5$$

Dobry diagram Venna dla tego zadania pokazywałby:

• $13$ w obszarze tylko koła plastycznego
• $5$ w części wspólnej
• $7$ w obszarze tylko koła szachowego
• $5$ poza oboma kołami

Jeden taki rysunek odpowiada od razu na kilka pytań: oba koła, dokładnie jedno koło, co najmniej jedno koło i żadne koło.

Częste błędy przy diagramach Venna

Wpisywanie części wspólnej dwa razy

Jeśli $5$ uczniów należy do obu grup, nie wpisuj tej liczby $5$ raz do $A$ i raz do $B$. Umieść ją we wspólnym obszarze, a potem odejmij ją od każdej sumy przy uzupełnianiu zewnętrznych części.

Mylenie sumy z częścią wspólną

Suma oznacza wszystko, co należy do co najmniej jednego zbioru. Część wspólna oznacza tylko to, co zbiory mają wspólne. Jeśli w pytaniu pojawia się „oba”, chodzi o obszar wspólny, a nie o cały zacieniowany obszar obu kół.

Zapominanie o zbiorze uniwersalnym

Słowa takie jak „żaden” i zapis taki jak $A^c$ wymagają jasno określonego zbioru uniwersalnego. Bez $U$ obszar na zewnątrz nie jest w pełni określony.

Zakładanie, że rysunek jest w skali

W wielu szkolnych zadaniach diagram Venna jest po prostu logiczną mapą. Dokładne rozmiary kół zwykle nie przedstawiają dokładnych ilości, chyba że zadanie wyraźnie to zaznacza.

Kiedy używa się diagramów Venna

Diagramy Venna są najbardziej przydatne wtedy, gdy zadanie dotyczy kategorii, które się pokrywają. Obejmuje to podstawy teorii zbiorów, zadania na liczenie, wyniki ankiet oraz zadania z prawdopodobieństwa oparte na zdarzeniach takich jak $A \cup B$ i $A \cap B$.

Są też przydatne w logice, gdzie obszary mogą reprezentować zdania lub kategorie. Ich prawdziwa wartość nie polega na samych kołach. Chodzi o nawyk rozdzielania „tylko tutaj”, „tylko tam” i „w obu” przed rozwiązaniem zadania.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie: klasa liczy $28$ uczniów, $16$ jest w jednej grupie, $11$ w innej, a $4$ w obu. Najpierw uzupełnij część wspólną, a potem wyznacz dwa obszary bez nakładania się, sumę oraz liczbę uczniów, którzy nie należą do żadnej grupy.