真值表——AND、OR、NOT、XOR 与蕴含

真值表列出一个命题所有可能的真值组合，并告诉你在每种情况下最终结果是真还是假。如果你想快速理解 AND、OR、NOT、XOR 或蕴含，真值表通常是最清晰的起点。

本页中的主要逻辑运算符遵循一组简明而精确的规则：

• $p \land q$ 只有在两者都为真时才为真。
• $p \lor q$ 只要至少有一个为真就为真。
• $\lnot p$ 会把 $p$ 的真值取反。
• $p \oplus q$ 在两者中恰好一个为真时为真。
• $p \to q$ 只在 $p$ 为真且 $q$ 为假时为假。

AND、OR、NOT、XOR 与蕴含的真值表

对于两个命题 $p$ 和 $q$，共有四种可能的输入行：$TT$、$TF$、$FT$ 和 $FF$。一个完整的真值表必须包含这四种情况。

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \oplus q$	$p \to q$	$\lnot p$
T	T	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T

如果你只记住一个真值表，那就记这个。大多数逻辑入门题，最终都可以归结为正确读取其中某一列。

每个逻辑符号的含义

AND 表示两者都成立

$p \land q$ 只有在两个输入都为真时才为真。

这就是为什么 AND 那一列只有一行为真。

OR 表示至少一个成立

$p \lor q$ 在一个输入为真时为真，在两个都为真时也为真。

这就是 OR 的包含式含义。如果题目要求“二者之一，但不能同时成立”，那就应该使用 XOR。

NOT 会反转一个命题

$\lnot p$ 会把真变成假，把假变成真。

NOT 与这里其他运算符不同，因为它只作用于一个命题，而不是两个命题。

XOR 表示恰好一个成立

$p \oplus q$ 在两个输入不同时为真。

因此中间两行为真，而 $p$ 与 $q$ 相同的两行为假。

蕴含只有一种情况为假

$p \to q$ 只在 $p$ 为真而 $q$ 为假时为假。

这个规则一开始可能会让人觉得奇怪，因为逻辑中的蕴含并不等同于日常语言中的“导致”。它表示“如果 $p$，那么 $q$”这个断言，只有在 $p$ 发生而 $q$ 没发生时才算失败。

例题：为什么 $p \to q$ 只会有一次为假

设 $p$ 表示“这个数能被 4 整除”，$q$ 表示“这个数是偶数”。

考虑命题

$$p \to q$$

它的意思是：如果一个数能被 $4$ 整除，那么它是偶数。

现在来看四种逻辑情况：

• 如果 $p$ 为真且 $q$ 为真，这个命题成立。
• 如果 $p$ 为真且 $q$ 为假，这个命题不成立。
• 如果 $p$ 为假，那么在命题逻辑中这个蕴含算真，因为这个命题并没有对条件未发生的情况作出承诺。

这就是为什么 $p \to q$ 恰好只有一行为假。在这个例子里，这个断言对所有实数都成立，因为每个 4 的倍数都是偶数。

真值表中的常见错误

• 混淆 OR 和 XOR。普通 OR 包含两个输入都为真的情况。
• 把蕴含理解成日常意义上的因果关系。在真值表中，$p \to q$ 是由各行定义的，而不是由某个因果故事决定的。
• 忘记列出所有输入组合。对于两个命题，必须有四行。
• 把 NOT 当成双输入运算符。它只作用于一个命题。
• 以为真值表只用于哲学或证明。同样的逻辑也出现在布尔代数和数字系统中。

真值表的用途

真值表可用于定义逻辑联结词、检验两个命题是否等价、检查一个论证形式是否有效，以及在计算中读取布尔表达式。

当符号规则显得过于抽象时，真值表尤其有用。表格会把每一种情况都摆出来，因此更容易发现隐藏的错误。

试着做一个类似的真值表

为下面这个式子构造真值表：

$$(p \lor q) \land \lnot q$$

然后把它的最后一列与 $p \land \lnot q$ 的那一列进行比较。如果你还想继续探索另一个例子，可以对 $p \oplus q$ 做同样的过程，看看它与普通 OR 有什么不同。