แผนภาพเวนน์ — เซต ส่วนร่วม และสหภาพ

แผนภาพเวนน์แสดงเซตเป็นบริเวณที่ซ้อนทับกัน ช่วยให้เห็นว่าอะไรอยู่ในเซตเดียวเท่านั้น อะไรเป็นส่วนที่ใช้ร่วมกัน และอะไรอยู่นอกทั้งสองเซตแต่ยังอยู่ภายในเอกภพสัมพัทธ์

สำหรับสองเซต $A$ และ $B$ มีแนวคิดสำคัญที่สุดอยู่สองอย่าง:

• ส่วนร่วม $A \cap B$ คือบริเวณที่ซ้อนทับกัน
• สหภาพ $A \cup B$ คือทุกอย่างที่อยู่ในเซตใดเซตหนึ่ง

ถ้าโจทย์เกี่ยวข้องกับหมวดหมู่ที่มีส่วนซ้อนกัน แผนภาพเวนน์มักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการจัดระเบียบข้อมูลก่อนเริ่มคำนวณ

วิธีอ่านแต่ละส่วนของแผนภาพเวนน์

สำหรับสองเซต $A$ และ $B$ แผนภาพเวนน์พื้นฐานมี 4 บริเวณที่สำคัญ:

• อยู่ใน $A$ เท่านั้น
• อยู่ใน $B$ เท่านั้น
• อยู่ในทั้ง $A$ และ $B$
• ไม่อยู่ในทั้งสองเซต แต่ยังอยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ $U$

บริเวณที่ซ้อนทับกันเป็นส่วนที่นักเรียนมักใส่ผิดบ่อยที่สุด ถ้าสมาชิกหนึ่งอยู่ในทั้งสองเซต ก็ไม่ควรใส่แยกในทั้งสองวงกลม แต่ให้ใส่เพียงครั้งเดียวในบริเวณตรงกลางที่ใช้ร่วมกัน

นี่จึงเป็นเหตุผลที่แผนภาพเวนน์ช่วยป้องกันการนับซ้ำ

ส่วนร่วม สหภาพ และส่วนเติมเต็ม หมายถึงอะไร

การดำเนินการของเซตหลัก ๆ ตรงกับส่วนที่มองเห็นได้ในแผนภาพ:

• $A \cap B$: เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับกัน
• $A \cup B$: ทุกอย่างที่ถูกครอบคลุมโดยวงกลมวงใดวงหนึ่ง
• $A^c$: ทุกอย่างใน $U$ ที่ไม่อยู่ใน $A$

ข้อสุดท้ายนี้ขึ้นอยู่กับเอกภพสัมพัทธ์ ถ้า $U$ เปลี่ยน ส่วนเติมเต็มก็อาจเปลี่ยนตาม

สำหรับโจทย์การนับที่เป็นเซตจำกัด กฎสำคัญคือ:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

ในที่นี้ $|A|$ หมายถึงจำนวนสมาชิกใน $A$ เราลบส่วนร่วมออกหนึ่งครั้ง เพราะสมาชิกเหล่านั้นถูกนับไปแล้วทั้งใน $|A|$ และ $|B|$

ตัวอย่างทำโจทย์: นักเรียนในชมรมสองชมรม

สมมติว่าห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน $30$ คน

• $18$ คนอยู่ชมรมศิลปะ
• $12$ คนอยู่ชมรมหมากรุก
• $5$ คนอยู่ทั้งสองชมรม

ให้ $A$ เป็นเซตของชมรมศิลปะ และ $B$ เป็นเซตของชมรมหมากรุก

เริ่มจากส่วนที่ซ้อนทับกัน:

$$|A \cap B| = 5$$

จากนั้นเติมส่วนที่ไม่ซ้อนทับ:

$$\text{เฉพาะ }A = 18 - 5 = 13$$ $$\text{เฉพาะ }B = 12 - 5 = 7$$

ดังนั้นจำนวนนักเรียนที่อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งในสองชมรมคือ:

$$|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$$

จึงเหลือ:

$$\text{ไม่อยู่ทั้งสองชมรม} = 30 - 25 = 5$$

แผนภาพเวนน์ที่ดีสำหรับโจทย์นี้จะแสดงว่า:

• $13$ อยู่ในบริเวณเฉพาะชมรมศิลปะ
• $5$ อยู่ในบริเวณซ้อนทับ
• $7$ อยู่ในบริเวณเฉพาะชมรมหมากรุก
• $5$ อยู่นอกวงกลมทั้งสอง

ภาพเดียวนี้ตอบได้หลายคำถามพร้อมกัน: อยู่ทั้งสองชมรม อยู่เพียงชมรมเดียว อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งชมรม และไม่อยู่ทั้งสองชมรม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในแผนภาพเวนน์

ใส่ส่วนซ้อนทับซ้ำสองครั้ง

ถ้ามีนักเรียน $5$ คนอยู่ในทั้งสองกลุ่ม อย่านำ $5$ นี้ไปใส่ครั้งหนึ่งใน $A$ และอีกครั้งใน $B$ ให้ใส่ในบริเวณที่ใช้ร่วมกัน แล้วค่อยลบออกจากยอดรวมของแต่ละเซตเมื่อเติมส่วนด้านนอก

สับสนระหว่างสหภาพกับส่วนร่วม

สหภาพหมายถึงทุกอย่างที่อยู่ในเซตใดเซตหนึ่ง ส่วนร่วมหมายถึงเฉพาะสิ่งที่ทั้งสองเซตมีร่วมกัน ถ้าคำถามใช้คำว่า "ทั้งสอง" ก็หมายถึงบริเวณซ้อนทับ ไม่ใช่พื้นที่รวมทั้งหมดของวงกลมทั้งสอง

ลืมเอกภพสัมพัทธ์

คำอย่าง "ไม่อยู่ทั้งสองเซต" และสัญลักษณ์อย่าง $A^c$ ต้องมีเอกภพที่ชัดเจน หากไม่มี $U$ บริเวณด้านนอกจะยังไม่ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์

คิดว่ารูปวาดเป็นสัดส่วนจริง

ในโจทย์ระดับโรงเรียนหลายข้อ แผนภาพเวนน์เป็นเพียงแผนที่เชิงตรรกะ ขนาดของวงกลมมักไม่ได้แทนปริมาณจริงอย่างแม่นยำ เว้นแต่โจทย์จะระบุไว้

แผนภาพเวนน์ใช้เมื่อไร

แผนภาพเวนน์มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อโจทย์มีหมวดหมู่ที่ซ้อนทับกัน ซึ่งรวมถึงทฤษฎีเซตเบื้องต้น โจทย์การนับ ผลสำรวจ และคำถามความน่าจะเป็นที่สร้างจากเหตุการณ์อย่าง $A \cup B$ และ $A \cap B$

นอกจากนี้ยังใช้ได้ในตรรกศาสตร์ ซึ่งบริเวณต่าง ๆ อาจแทนข้อความหรือหมวดหมู่ต่าง ๆ คุณค่าที่แท้จริงไม่ได้อยู่ที่วงกลมเอง แต่อยู่ที่การแยกให้ชัดว่าอะไรคือ "อยู่ที่นี่เท่านั้น" "อยู่ที่นั่นเท่านั้น" และ "อยู่ในทั้งสองที่" ก่อนลงมือแก้โจทย์

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองข้อนี้ด้วยตัวเอง: ห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน $28$ คน, $16$ คนอยู่ในกลุ่มหนึ่ง, $11$ คนอยู่อีกกลุ่มหนึ่ง, และ $4$ คนอยู่ในทั้งสองกลุ่ม เติมส่วนซ้อนทับก่อน แล้วหาสองบริเวณที่ไม่ซ้อนทับ สหภาพ และจำนวนคนที่ไม่อยู่ในทั้งสองกลุ่ม